Aufgabe 4496
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Carport - Aufgabe B_522
Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.
Teil b
Im Modell B wird ein Teil des Carports durch den Kreisbogen k und den Graphen der Funktion q beschrieben (siehe nachstehende Abbildung).
Der Kreisbogen k verläuft zwischen den Punkten F und G = (1,18 | 1). Der zugehörige Kreis hat den Mittelpunkt M = (2,34 | –0,16).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeigen Sie, dass die Steigung der Tangente t an den Kreisbogen im Punkt G den Wert 1 hat.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Winkel α, der durch die nachstehende Formel berechnet werden kann.
\(\overrightarrow {MF} \cdot \overrightarrow {MG} = \left| {\overrightarrow {MF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MG} } \right| \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
0 / 1 P.]
Zwischen den Punkten G und R kann die Begrenzungslinie des Carports durch den Graphen der Funktion q beschrieben werden.
\(q\left( x \right) = - 0,00078 \cdot {x^4} + 0,0312 \cdot {x^3} - 0,366 \cdot {x^2} + 1,74 \cdot x - 0,593\)
x, q(x) |
Koordinaten in m |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Länge der in der obigen Abbildung dargestellten Begrenzungslinie q des Carports im Intervall [1,18; 6,66].
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir berechnen zuerst den Vektor von M nach G und drehen diesen Vektor dann um 90°:
\(\overrightarrow {MG} = G - M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,18}\\ 1 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2,34}\\ { - 0,16} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1,16}\\ {1,16} \end{array}} \right)\)
Den Normalvektor zu einem gegebenen Vektor erhält man gemäß der Links- bzw, Rechtskippregel, dh es werden die x bzw y Komponenten des Vektors vertauscht und bei einer der beiden Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht:
\(\overrightarrow {M{G_ \bot }} = \overrightarrow {Tg} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,16}\\ {1,16} \end{array}} \right)\parallel \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) \to k = 1\)
2. Teilaufgabe:
Den Kosinus vom Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man, indem man das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren dividiert. Mit diesem Wissen können wir die beiden Vektoren einzeichnen.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {MF} \cdot \overrightarrow {MG} = \left| {\overrightarrow {MF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MG} } \right| \cdot \cos \left( \alpha \right)\\ \cos \left( \alpha \right) = \dfrac{{\overrightarrow {MF} \circ \overrightarrow {MG} }}{{\left| {\overrightarrow {MF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MG} } \right|}} \end{array}\)
3. Teilaufgabe:
Wir müssen mit Hilfe vom bestimmten Integral die Bogenlänge einer ebenen Kurve berechnen. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\(\begin{array}{l} s = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\\ \\ q\left( x \right) = - 0,00078 \cdot {x^4} + 0,0312 \cdot {x^3} - 0,366 \cdot {x^2} + 1,74 \cdot x - 0,593\\ s = \int\limits_{1,18}^{6,66} {\sqrt {1 + {{\left[ {q'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx} \end{array}\)
Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatz:
Geogebra:
1) Eingabe der Funktionsgleichung für q
2) Länge Befehl: Länge[ <Funktion>, <Startwert>, <Endwert> ]
Liefert: 5,8401
→ Die Länge der Begrenzungslinie beträgt rund 5,8 m.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\overrightarrow {M{G_ \bot }} = \overrightarrow {Tg} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,16}\\ {1,16} \end{array}} \right)\parallel \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1 \end{array}} \right) \to k = 1\)
2. Teilaufgabe
3. Teilaufgabe
Die Länge der Begrenzungslinie beträgt rund 5,8 m
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zeigen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Veranschaulichen des Winkels α.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Länge.