Aufgabe 4515
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Puddingmischungen - Aufgabe B_529
Teil b
Der Produktionsablauf wird verändert. Die quadratische Matrix A beschreibt die Produktionsverflechtungen zwischen den reinen Puddingsorten, den Mischsorten und den Packungen (in der Reihenfolge S, V, M1, M2, K, G).
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{0,18}&{0,11}&0&{0,5} \\ 0&0&{0,7}&{0,14}&0&{0,25} \\ 0&0&0&0&1&4 \\ 0&0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \end{array}} \right)\)
Neu dabei sind: a16 = 0,50 und a26 = 0,25.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie diese beiden neuen Verflechtungen im nachstehenden Gozinto-Graphen ein.
[0 / 1 P.]
Der Vektor \(\overrightarrow x \) soll die benötigten Mengen an reinen Puddingsorten, Mischsorten und Packungen (in der Reihenfolge S, V, M1, M2, K, G) beschreiben.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie diesen Vektor\(\overrightarrow x \) für eine Nachfrage von 300 Klein- und 200 Großpackungen.
[0 / 1 P.]
Für eine andere Nachfrage ergibt sich anstelle von \(\overrightarrow x \) der Vektor
\(\overrightarrow {{x_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {461} \\ {264} \\ {1300} \\ {700} \\ {100} \\ {300} \end{array}} \right)\)
3 . Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie den Eintrag 700 dieses Vektors im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie, wie sich eine zusätzliche direkte Nachfrage nach reinem Schokoladepudding im Ausmaß von 100 Litern auf den Vektor x1 auswirkt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir ergänzen die gegebene Verflechtungsmatrix um die Beschriftung der Zeilen und der Spalten und schreiben zur besseren Visualisierung nur die beiden neuen Werte a16 = 0,50 und a26 = 0,25 an:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {}&S&V&{{M_1}}&{{M_2}}&K&G\\ S&{}&{}&{}&{}&{}&{0,5}\\ V&{}&{}&{}&{}&{}&{0,25}\\ {{M_1}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{M_2}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ K&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ G&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array}} \right)\)
Damit ist klar, dass es
- einen Pfeil von S nach G mit der Beschriftung 0,5 und
- einen Pfeil von V nach G mit der Beschriftung 0,25
geben muss.
2. Teilaufgabe:
Für das Leontief Modell entnehmen wir die Formel für x der Formelsammlung und berücksichtigen, dass die Verflechtungsmatrix nicht mit V sondern mit A bezeichnet wird.
E |
Einheitsmatrix, das ist eine quadratische Diagonalmatrix deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind. |
V bzw. A | Verflechtungsmatrix |
"hoch -1" |
inverse Matrix |
n | Nachfragevektor, gibt die Menge an Endprodukten an |
\(\begin{array}{l} \overrightarrow x = {\left( {\overrightarrow E - \overrightarrow V } \right)^{ - 1}} \cdot \overrightarrow n = {\left( {\overrightarrow E - \overrightarrow A } \right)^{ - 1}} \cdot \overrightarrow n \\ \\ \overrightarrow x = {\left( {\overrightarrow E - \overrightarrow A } \right)^{ - 1}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ {300}\\ {200} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {375}\\ {225}\\ {1100}\\ {700}\\ {300}\\ {200} \end{array}} \right) \end{array}\)
Die Lösung erfolgte mittels Technologieeinsatz:
GeoGebra:
- Tabellenansicht:
- die Elemente der Matrix A gemäß Angabe eingeben
- ein Rechteck über alle Elemente aufziehen plus rechte Maustaste „Erzeugen“ → „Matrix“ → m1
- Eingabezeile: Einheitsmatrix (6) für eine 6x6 Einheitsmatrix → m2
- Tabellenansicht:
- die Elemente der Matrix n gemäß Angabe eingeben
- ein Rechteck über alle Elemente aufziehen plus rechte Maustaste „Erzeugen“ → „Matrix“ → m3
- CAS-Ansicht:
- \({(m2 - m1)^{ - 1}} \cdot m3 \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {375}\\ {225}\\ {1100}\\ {700}\\ {300}\\ {200} \end{array}} \right)\)
3. Teilaufgabe:
Wir ergänzen um die Beschriftung vom Produktionsvektor x
\(\overrightarrow {{x_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} S\\ V\\ {{M_1}}\\ {{M_2}}\\ K\\ G \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {461}\\ {264}\\ {1300}\\ {700}\\ {100}\\ {300} \end{array}} \right)\)
→ Für diese Nachfrage werden 700 Becher M2 benötigt.
4. Teilaufgabe:
Zum 1. Eintrag „S für Schokoladepudding“ des Vektors x1 wird 100 addiert.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
\(\overrightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {375}\\ {225}\\ {1100}\\ {700}\\ {300}\\ {200} \end{array}} \right)\)
3. Teilaufgabe
Für diese Nachfrage werden 700 Becher M2 benötigt.
4. Teilaufgabe
Zum 1. Eintrag „S für Schokoladepudding“ des Vektors x1 wird 100 addiert.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen der beiden neuen Verflechtungen.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Vektors x.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Beschreiben.