Arithmetisches Mittel

statistische Kennzahlen

Lagemaße

Lagemaße sind Kennzahlen, die Auskunft zur zentralen Tendenz geben, wo auf einer vorgegebenen Skala sich die Werte einer Grundgesamtheit konzentrieren.

Häufigkeitsverteilung

Die Häufigkeitsverteilung ist eine Liste, die für jeder Merkmalsausprägung deren Häufigkeit in der Urliste angibt.

Bespiel: Eine Münze wird 10 mal geworfen.
Die Urliste sieht wie folgt aus: (Kopf, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf)

Ausprägung	absolute Häufigkeit	relative Häufigkeit	prozentuelle Häufigkeit
Kopf	6	0.6	60%
Zahl	4	0,4	40%

absolute Häufigkeit H_i

Die Summe der Striche in einer Strichliste je Merkmalsausprägung nennt man die absolute Häufigkeit. Absolute Häufigkeiten haben nur dann eine Aussagekraft, wenn man die Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten ebenfalls anführt. z.B.: 16 von 24 Schülern haben eine positive Schularbeitsnote erhalten. Addiert man alle einzelnen absoluten Häufigkeiten H_i, so erhält man die Gesamtzahl n aller Erhebungseinheiten bzw. den Umfang der Stichprobe.
\(\begin{array}{l} H\left( {{x_1}} \right),H\left( {{x_2}} \right),...,H\left( {{x_k}} \right)\\ {H_1} + {H_2} + ... + {H_k} = n \end{array}\)

relative Häufigkeit h_i

Die relative Häufigkeit h_i bzw. der Anteil je Merkmalsausprägung an der Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten erhält man, indem man die jeweilige absolute Häufigkeit H_i auf die Gesamtzahl n bezieht (also in Relation setzt, mathematisch durch Division). z.B.: 16 von 24 Schülern sind 0,67. Addiert man alle einzelnen relativen Häufigkeiten h_i, so erhält man 1.
\(\begin{array}{l} {h_1},{h_2},...,{h_k}\\ {h_i} = \dfrac{{{H_i}}}{n} \end{array}\)

prozentuelle Häufigkeit h_i

Multipliziert man die relative Häufigkeit h_i mit 100, so erhält man die prozentuelle Häufigkeit. Da die prozentuelle Häufigkeit die relative Häufigkeit in %-ausgedrückt ist, verwendet man ebenfalls h_i als Formelzeichen. z.B.: 16 von 24 Schülern sind 67%. Addiert man alle einzelnen prozentuellen Häufigkeiten h_i, so erhält man den Wert 100 (entsprechend 100% bei der relativen Häufigkeit).
\({h_i}\left[ \% \right] = {h_i} \cdot 100\)

Prozentpunkte

Die Änderung der prozentuellen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung bezeichnet man als Prozentpunkt.
\(\Delta {h_i} = {h_{i,neu}} - {h_{i,alt}}\)

Beispiel:
Haben bei der nächsten Schularbeit 17 statt der 16 der 24 Schüler eine positive Note, so ist die

absolute Änderung 1 (Schüler),
bei der 1. Schularbeit hatten 67% (16 von 24) eine positive Note, bei der nächsten Schularbeit hatten 71% (17 von 24) eine positive Note
die prozentuelle Änderung beträgt 4 Prozentpunkte (nunmehr 71% statt bisher 67% prozentueller Häufigkeit)

Durch die Angabe von 4 Prozentpunkten vermeidet damit eine Verwechslung zwischen der Änderung um 4% und der prozentuellen Häufigkeit von 71%. Beides sind ja Prozentwerte.

Modus bzw. Modalwert m

Der Modus bzw. Modalwert m ist jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt. Der Modalwert wird durch Abzählen der einzelnen gemessenen Werte x_i der Datenreihe gebildet.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel bzw. der Durchschnitt, ist ein Lagemaß, welches sich aus der Summe aller erhobenen Werte, direkt aus der Urliste, dividiert durch die Anzahl der Werte errechnet.

\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

\(\overline x\) ... gesprochen als "x quer"

Der arithmetische Mittelwert, auch als Durchschnittswert bezeichnet, ist das wichtigste Zentralmaß in der beschreibenden Statistik. Man spricht von einem ungewichteten Mittelwert, da alle gemessenen Werte x_i mit dem gleichen Gewicht 1/n in den Mittelwert eingehen. Die Summe aller Abweichungen der einzelnen Stichproben vom arithmetischen Mittelwert heben sich auf und sind daher Null. Große Ausreißer in der Stichprobe, asymmetrische oder mehrgipfelige Verteilungen beeinflussen das arithmetische Mittel sehr stark und führen zu nicht repräsentativen Aussagen.

Getrimmtes arithmetisches Mittel

Um den arithmetischen Mittelwert robuster zu machen, werden beim "getrimmten" arithmetischen Mittel die k kleinsten und die k größten Ausreißer nicht berücksichtigt, wobei: k << n/2 sein muss.

\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

Bei einer Trimmung um k=3 bzw. um 3% würden bei einem Datensatz mit n=100 Werte die 3 größten und die 3 kleinsten Werte gestrichen werden, womit in obiger Formel n=94 und x₄, x₅, ... x₉₆, x₉₇ gilt.

Gewogenes bzw. gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn nicht mehr die Urliste sondern bereits die absoluten Häufigkeiten H(x_i) bzw. die relativen Häufigkeiten h_ider Ausprägung x_i vorliegen.

\(\eqalign{ & \overline x = {{{x_1} \cdot {H_1} + {x_2} \cdot {H_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m}} \over n} = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i} \cdot {H_i}} \cr & \overline x = {x_1} \cdot {h_1} + {x_2} \cdot {h_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m} \cr}\)

Die absolute Häufigkeit H_i gibt an, wie viele Elemente mit dem entsprechenden i-ten Merkmal gezählt wurden.

Geometrisches Mittel

Hat man die Beobachtungswerte aus der Urliste gegeben, so bildet man das Produkt der n Stichproben und zieht anschließend die n-te Wurzel. Man erhält das ungewogene geometrische Mittel

\({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\)

Gewogenes geometrisches Mittel

Hat man die absoluten H(x_i) bzw. die relativen h_i Häufigkeiten gegeben, so errechnet sich das gewogene geometrische Mittel wie folgt:

\({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1}^{{H_1}} \cdot {x_2}^{{H_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{N_n}}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{H_i}}} }}\)

\({\overline x _{geom}} = {x_1}^{{h_1}} \cdot {x_2}^{{h_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{h_n}} = \prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{h_i}}} \)

Unterschied geometrisches und arithmetisches Mittel

Das geometrische Mittel errechnet sich über ein Produkt und die anschließende n-te Wurzel, während sich das arithmetische Mittel über eine Summe und durch anschließende Division durch n errechnet.
Das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Es wird vorwiegend in den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften für Wachstumsfaktoren eingesetzt, etwa zur Berechnung vom Durchschnitt einer prozentuellen Verzinsung.
Das geometrische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander abhängig sind, etwa wie die Kapitalrendite über mehrere Jahre bei unterschiedlicher Verzinsung über die Jahre hinweg. Keiner der gemessenen Werte darf Null oder Negativ sein.
Das arithmetische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander unabhängig sind, etwa wie die Noten bei einer Prüfung von den verschiedenen Schülern der Klasse.

Gleitender Mittelwert

Das gleitende Mittel ist eine Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte.

Beispiel: Es liegen die Einkommenswerte eines Angestellten je Monat für den Zeitraum von 10 Jahren vor. Der Angestellte will sein jeweiliges Monatsdurchschnittseinkommen kennen. Er berechnet immer die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. Dann streicht er das am weitesten in der Vergangenheit liegende Monat raus und ergänzt um das zeitlich nächst Monat und rechnet erneut die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. So erhält er den gleitenden Mittelwert seines Monatseinkommens während des Betrachtungszeitraums. Dieser Wert ist im Vergleich zum Monatseinkommen stark geglättet weil punktuelle Ereignisse (13. Gehalt, Prämie, Sabbatical ...) nicht stark durchschlagen.

Median

Der Median bzw. Zentralwert med ist der in der Mitte stehende Wert x_i einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.

\(\eqalign{ & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = gerade}}}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2} \cr & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = ungerade}}}} = {x_{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}} \cr} \)

Quartil, Perzentil und Quantil

Quartile, Perzentile und Quantile sind Lagemaße einer Verteilung und werden in der beschreibenden Statistik verwendet.

Quartil

Quartilen teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 4 gleich große Viertel.

Das 1. Quartil q₁ist der Median der unteren Hälfte. Mindestens 25% der Werte sind kleiner oder gleich q₁, zugleich sind mindestens 75% der Werte größer oder gleich q₁
Das 2. Quartil q₂=z ist der Median selbst. Mindestens 50% der Werte sind kleiner oder gleich q₂, zugleich sind mindestens 50% der Werte größer oder gleich q₂
Das 3. Quartil q₃ist der Median der oberen Hälfte. Mindestens 75% der Werte sind kleiner oder gleich q₃, zugleich sind mindestens 25% der Werte größer oder gleich q₃

Illustration wie 3 Quartile die aufsteigenden Größen in 4 Viertel teilen.

Perzentil

Perzentile teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 100 gleich große Teile. Perzentile entsprechen also den vertrauten Prozentangaben.

Quantil

Quantile teilen eine nach aufsteigender Größe geordneten Liste in zwei (ungleiche) Teile. Das p-Quantil besagt, dass mindestens p% der Werte kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sind und (1-p)% der Werte größer oder gleich diesem Wert sind. Quartile und Perzentile sind "besondere" Quantile.

Beispiel:
geordnete Liste von 10 Werten: 2,3,5,7,8,9,10,12,14,15

1. Quartil: 2,5 von 10 Werten --> aufgerundet der 3. Wert --> q₁=5
2. Quantil; 5. plus 6. Wert halbe --> (8+9)/2=8,5 --> q₂=8,5=Median
3. Quartil: 7,5 von 10 Werte n --> aufgerundet der 8. Wert --> q₃=12

prozentuelle Häufigkeit

Prozentpunkte

Getrimmtes arithmetisches Mittel

Gewogenes arithmetisches Mittel

Gewogenes geometrische Mittel

Quartil

Quantile

Perzentil

gleitender Mittelwert

Aufgaben

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 2.1

Aufgabe 1295

AHS - 1_295 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Reisekosten
Ein Reiseveranstalter plant eine Busreise, an der x Erwachsene und y Kinder teilnehmen. Für die Busfahrt müssen die Erwachsenen einen Preis von € p bezahlen, der Preis der Busfahrt ist für die Kinder um 30 % ermäßigt.

Aufgabenstellung

Stellen Sie einen Term auf, der die durchschnittlichen Kosten für die Busfahrt pro Reiseteilnehmer angibt!

Reisekosten - 1295. Aufgabe 1_295

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool AG 2.1

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Aufgabe 1421

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Taschengeld

Tim hat x Wochen lang wöchentlich € 8, y Wochen lang wöchentlich € 10 und z Wochen lang wöchentlich € 12 Taschengeld erhalten.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie in Worten an, was in diesem Zusammenhang durch den Term

\(\dfrac{{8x + 10y + 12z}}{{x + y + z}}\)

dargestellt wird!

Taschengeld - 1421. Aufgabe 1_421

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1079

AHS - 1_079 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Geldausgaben

Karin hat das arithmetische Mittel ihrer monatlichen Ausgaben im Zeitraum Jänner bis (einschließlich) Oktober mit € 25 errechnet. Im November gibt sie € 35 und im Dezember € 51 aus.

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel für die monatlichen Ausgaben in diesem Jahr!

Geldausgaben - 1079. Aufgabe 1_079

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.1

Aufgabe 1112

AHS - 1_112 & Lehrstoff: WS 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tagesumsätze

Die Tagesumsätze (in €) eines Restaurants für eine bestimmte Woche sind im folgenden Diagramm angegeben:

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den durchschnittlichen Tagesumsatz \(\overline U\) für diese Woche!

Tagesumsätze - 1112. Aufgabe 1_112

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1125

AHS - 1_125 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Mittelwert einfacher Datensätze
Die unten stehende Tabelle bietet eine Übersicht über die Zahl der Einbürgerungen in Österreich und in den jeweiligen Bundesländern im Jahr 2010 nach Quartalen. Ein Quartal fasst dabei jeweils den Zeitraum von drei Monaten zusammen. Das 1. Quartal ist der Zeitraum von Jänner bis März, das 2. Quartal der Zeitraum von April bis Juni usw.

Quartal	Österr.	Burgenl.	Kärnten	NÖ	OO	Slzbg	Stmk	Tirol	Vorarlberg	Wien
Q1 2010	1142	1	119	87	216	112	101	131	97	278
Q2 2010	1605	80	120	277	254	148	106	138	125	357
Q3 2010	1532	4	119	187	231	98	121	122	61	589
Q4 2010	1856	53	113	248	294	158	102	183	184	521

Quelle: Statistik Austria

Aussage 1: \(\overline m = \left( {1142 + 1605 + 1532 + 1856} \right):9\)
Aussage 2: \(\overline m = \dfrac{{2 \cdot 119 + 113 + 120}}{4}\)
Aussage 3: \(\overline m = 119 + 120 + 119 + 113:4\)
Aussage 4: \(\overline m = \dfrac{1}{{12}} \cdot \left( {113 + 2 \cdot 119 + 120} \right) \cdot 3\)
Aussage 5: \(\overline m = \dfrac{{113 + 119 + 119 + 120}}{{12}} \cdot 4\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden korrekten Berechnungsmöglichkeiten für den Mittelwert der Einbürgerungen im Bundesland Kärnten pro Quartal im Jahr 2010 an!

Mittelwert einfacher Datensätze - 1125. Aufgabe 1_125

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1127

AHS - 1_127 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Datenreihe
Der arithmetische Mittelwert \(\overline x\) der Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{10}}{\text{ ist }}\overline x = 20\). Die Standardabweichung σ der Datenreihe ist σ = 5. Die Datenreihe wird um die beiden Werte x₁₁ = 19 und x₁₂ = 21 ergänzt.

Aussage 1: Das Maximum der neuen Datenreihe x₁, ... , x₁₂ ist größer als das Maximum der ursprünglichen Datenreihe x₁, ... , x₁₀.
Aussage 2: Die Spannweite der neuen Datenreihe x₁, ... , x₁₂ ist um 2 größer als die Spannweite der ursprünglichen Datenreihe x₁, ... , x₁₀.
Aussage 3: Der Median der neuen Datenreihe x₁, ... , x₁₂ stimmt immer mit dem Median der ursprünglichen Datenreihe x₁, ... , x₁₀ überein.
Aussage 4: Die Standardabweichung der neuen Datenreihe x₁, ... , x₁₂ ist kleiner als die Standardabweichung der ursprünglichen Datenreihe x₁, ... , x₁₀.
Aussage 5: Der arithmetische Mittelwert der neuen Datenreihe x₁, ... , x₁₂ stimmt mit dem arithmetischen Mittelwert der ursprünglichen Datenreihe x1, ... , x10 überein.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Datenreihe - 1127. Aufgabe 1_127

Standardabweichung

Spannweite

Median

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1128

AHS - 1_128 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Arithmetisches Mittel einer Datenreihe
Für das arithmetische Mittel einer Datenreihe \({x_1},\,\,{x_2},\,\,...,\,\,{x_{24}}{\text{ gilt }}\overline x = 115\). Die Standardabweichung der Datenreihe ist s_x = 12. Die Werte einer zweiten Datenreihe \({y_1},\,\,{y_2},\,\,...,\,\,{y_{24}}\) entstehen, indem man zu den Werten der ersten Datenreihe jeweils 8 addiert, also \({y_1} = {x_1} + 8;\,\,\,\,\,{y_2} = {x_2} + 8\) usw.

Aufgabenstellung:
Geben Sie den Mittelwert und die Standardabweichung s_y der zweiten Datenreihe an!

Arithmetisches Mittel einer Datenreihe - 1128. Aufgabe 1_128

Standardabweichung

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.4

Aufgabe 1140

AHS - 1_140 & Lehrstoff: WS 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften des arithmetischen Mittels
Gegeben ist das arithmetische Mittel \(\overline x\) von Messwerten.

Aussage 1: Das arithmetische Mittel teilt die geordnete Liste der Messwerte immer in eine untere und eine obere Teilliste mit jeweils gleich vielen Messwerten.
Aussage 2: Das arithmetische Mittel kann durch Ausreißer stark beeinflusst werden.
Aussage 3: Das arithmetische Mittel kann für alle Arten von Daten sinnvoll berechnet werden.
Aussage 4: Das arithmetische Mittel ist immer gleich einem der Messwerte.
Aussage 5: Multipliziert man das arithmetische Mittel mit der Anzahl der Messwerte, so erhält man immer die Summe aller Messwerte.

Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Eigenschaften treffen für das arithmetische Mittel zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!

Eigenschaften des arithmetischen Mittels - 1140. Aufgabe 1_140

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1162

AHS - 1_162 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Geordnete Urliste
9 Kinder wurden dahingehend befragt, wie viele Stunden sie am Wochenende fernsehen. Die nachstehende Tabelle gibt ihre Antworten wieder.

Kind	Fernsehstunden
Fritz	2
Susi	2
Michael	3
Martin	3
Angelika	4
Paula	5
Max	5
Hubert	5
Lisa	8

Aussage 1: Der Median würde sich erhöhen, wenn Fritz um eine Stunde mehr fernsehen würde.
Aussage 2: Der Median ist kleiner als das arithmetische Mittel der Fernsehstunden.
Aussage 3: Die Spannweite der Fernsehstunden beträgt 3.
Aussage 4: Das arithmetische Mittel würde sich erhöhen, wenn Lisa anstelle von 8 Stunden 10 Stunden fernsehen würde.
Aussage 5: Der Modus ist 8.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Urliste

Median

Spannweite

Geordnete Urliste - 1162. Aufgabe 1_162

Modus

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1230

AHS - 1_230 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sportwettbewerb
150 Grazer und 170 Wiener Schüler/innen nahmen an einem Sportwettbewerb teil. Der Vergleich der Listen der Hochsprungergebnisse ergibt für beide Schülergruppen das gleiche arithmetische Mittel von 1,05 m sowie eine empirische Standardabweichung für die Grazer von 0,22 m und für die Wiener von 0,3 m.

Aussage 1: Die Sprunghöhen der Grazer Schüler/innen weichen vom arithmetischen Mittel nicht so stark ab wie die Höhen der Wiener Schüler/innen.
Aussage 2: Das arithmetische Mittel repräsentiert die Leistungen der Grazer Schüler/innen besser als die der Wiener.
Aussage 3: Die Standardabweichung der Grazer ist aufgrund der geringeren Teilnehmerzahl kleiner als die der Wiener.
Aussage 4: Von den Sprunghöhen (gemessen in m) der Wiener liegt kein Wert außerhalb des Intervalls [0,45; 1,65].
Aussage 5: Beide Listen haben den gleichen Median.

Aufgabenstellung
Entscheiden Sie, welche Aussagen aus den gegebenen Daten geschlossen werden können, und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Sportwettbewerb - 1230. Aufgabe 1_230

Aufgabe 1329

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Arithmetisches Mittel

Neun Athleten eines Sportvereins absolvieren einen Test. Der arithmetische Mittelwert der neun Testergebnisse x₁, x₂, … , x₉ ist \(\overline x = 8\) . Ein zehnter Sportler war während der ersten Testdurchführung abwesend. Er holt den Test nach, sein Testergebnis ist x₁₀ = 4.

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie das arithmetische Mittel \({\overline x _{{\text{neu}}}}\) der ergänzten Liste x₁, x₂, … , x₁₀!

Arithmetisches Mittel - 1329. Aufgabe 1_329

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.4

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3

Aufgabe 1378

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Änderung statistischer Kennzahlen

Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a₁, a₂, ... , a₉. Der Wert a₁ wird um 5 vergrößert, der Wert a₉ wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a₁ und a₉ kann sich eine neue, nicht geordnete Liste ergeben.

Aussage 1: arithmetisches Mittel
Aussage 2: Median
Aussage 3: Modus
Aussage 4: Spannweite
Aussage 5: Standardabweichung

Aufgabenstellung:
Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!

Geordnete Urliste

Änderung statistischer Kennzahlen - 1378. Aufgabe 1_378