De Morgansche Regeln
Die beiden Gesetze von De Morgan, je eines für Schnitt- und Vereinigungsmengen, sind elementare Gesetze der Aussagenlogik.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Mengenalgebra
Die Mengenalgebra beschäftigt sich mit den Rechenregeln, die für die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier gegebener Mengen A und B gelten.
Schnittmenge | Vereinigungsmenge | |
Kommutativgesetz | \(A \cap B = B \cap A\) | \(A \cup B = B \cup A\) |
Assoziativgesetz | \(\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right)\) | \(\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right)\) |
Distributivgesetz | \(A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)\) | \(A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)\) |
Gesetz für das Komplement | \(A \cap \overline A = \left\{ {} \right\}\) | \(A \cup \overline A = M\) |
Gesetz von De Morgan | \(\overline {\left( {A \cap B} \right)} = \overline A \cup \overline B \) | \(\overline {\left( {A \cup B} \right)} = \overline A \cap \overline B \) |
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Aufgaben
Aufgabe 6026
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.
Diagramm 1:
Diagramm 2:
Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
- Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
- Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
- Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.
- Menge 1: \(M \cap S\)
- Menge 2: \(M \cup S\)
- Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
- Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
- Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
- Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
- p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
- p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit PS(M) .
5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.
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