Dunkle Energie

Zusammensetzung des Universums gemäß dem Standardmodell der Kosmologie

Gemäß dem Standardmodell der Kosmologie setzt sich das Universum aus 4 Komponenten zusammen. Lediglich über 4% der gewöhnlichen Materie haben wir physikalische Theorien, die auch einer experimentellen Überprüfung standgehalten haben.

• ca. 73% Dunkler Energie
• ca. 23% Dunkler Materie
• ca. 4% Gewöhnliche Materie
• ca. 0,3% Neutrinos

Gewöhnliche Materie im Standardmodell der Kosmologie

Wenn man heute von Materieteilchen spricht, also von den 4% alltäglicher Materie, dann meint man damit die

• 6 Leptonen: Elektron + Elektron-Neutrino, Myon + Myon-Neutrino, Tau + Tau-Neutrino
• 6 Quarks (mit den "Flavors"): Up + Down, Charm + Strange, Top + Bottom, welche die Protonen und Neutronen aufbauen

Lediglich die beiden leichtesten Quarks „up“ und „down“ und die beiden leichtesten Leptonen „Elektron“ und „Elektron-Neutrino“ sind stabil. D.h. es gibt 6+6=12 Materieteilchen, nur 4 davon sind stabil und nur 3 davon bauen die Elemente auf, aus denen unsere Welt besteht.

Unser physikalisches Wissen über die gewöhnliche Materie ist in der

• klassischen Mechanik (Gallilei, Newton) samt Elektrodynamik (Maxwell) und der Thermodynamik (Carnot)
• Allgemeinen Relativitätstheorie (Einstein)
• Quantenphysik (Planck, Heisenberg, Schrödinger, Feynman, Higgs)

zusammengefasst.

Alle Objekte die aus gewöhnlicher Materie bestehen, üben eine Anziehungskraft auf einander aus. Im Zentrum unserer Galaxie befindet sich das super massereiche Schwarze Loch Sagittarisu A, welches 4 Millionen Mal die Masse unserer Sonne hat, aber nur deren 17-fachen Durchmesser. Es wird von Sternen umkreist, die es durch seine Gravitation an sich bindet.

Dunkle Materie im Standardmodell der Kosmologie

Die beobachtbare gewöhnliche Materie, also inklusive der Schwarzen Löcher,  reicht aber nicht aus, um einerseits die Geschwindigkeit zu erklären, mit welcher die Sterne um das Zentrum der Galaxien kreisen und andererseits den Gravitationslinseneffekt zu erklären.

Es wird daher eine zusätzliche - dunkle - Materie mit einer positiv wirkenden Gravitationskraft postuliert. Die dunkle Materie unterstützt dabei die Bildung von Strukturen im Universum, wie Sonnensysteme,  Galaxien,  Galaxienhaufen und Galaxien-Superhaufen bis hin zu den größten bekannten Strukturen im Universum, den Großen Quasargruppen mit einer Ausdehnung von 4 Milliarden Lichtjahren, zwischen denen sich große Leerräume erstrecken.

Die Dunkle Materie stammt von Teilchen mit Masse, setzt sich aber nicht aus Teilchen der gewöhnlichen Materie des Standardmodells der Teilchenphysik zusammen.

Die aussichtsreichsten Kandidaten sind die im supersymmetrischen Standardmodell postulierten „leichten Superpartner“, deren Masse bei 100 Protonenmassen liegen dürfte. Ihre Masse stammt aus Mechanismen jenseits des Higgs-Mechanismus. D.h. es handelt sich hier nicht um Schwarze Löcher oder um ausgebrannte Sonnen, die erkaltet sind.

Die Dunkle Materie, wäre neben den 6 Leptonen und den 6 Quarks eine dritte Materieteilchenart. Auf ihre Existenz schließt man auf Grund der Wirkung ihrer Gravitation auf sichtbare Himmelsobjekte. Sie muss aus Materieteilchen bestehen, da sie Klumpen in der Größe von Galaxien bildet.

Dunkle Energie im Standardmodell der Kosmologie

Messungen der Rotverschiebung von Galaxien haben gezeigt, dass die Geschwindigkeit mit der sich das Universum ausdehnt, nicht wie erwartet, zufolge der Wirkung der Gravitation abnimmt, sondern im Gegenteil zunimmt, als würde zwischen den Strukturen (Galaxien) eine Anti-Gravitation wirken.

Die dunkle Energie stellt ein verteiltes Energiefeld dar, welches auf Grund einer negativ wirkenden Gravitationskraft die Expansion vom Universum beschleunigt.

Die dunkle Energie scheint strukturlos, gleichmäßig im Raum verteilt und zeitlich konstant zu sein. D.h.: Sie besteht aus keinen Teilchen, die sich etwa zu Galaxien zusammenklumpen könnten. Sie könnte, ähnlich dem Higgs Feld ein skalares Feld sein, das zur inflationären Ausdehnung des Universums beigetragen hat, und im Unterschied zum Higgs-Feld zwischenzeitlich stark ausgedünnt ist. Ein solches Feld wird „Quintessenz“ genannt.

Das wichtigste Indiz für ihre Existenz ist die Tatsache, dass sich die Expansion des Universums, nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt. 

Während die physikalische Natur der dunklen Energie unklar ist, hat sie bereits Einstein in seiner ART (1915) als „Lambda-Term oder kosmologische Konstante“ eingeführt.

Ein negatives Lambda verstärkt die Gravitation, ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“, ebenso wie die dunkle Energie.

Neutrinos im Standardmodell der Kosmologie

Neutrinos sind elektrisch neutrale Teilchen, die eine sehr kleine, von null verschiedene, Ruhemasse besitzen.

1930 postulierte sie der Physiker Pauli, um den Energie- und Drehimpulserhaltungssatz im Beta-Zerfall aufrecht erhalten zu können. Neutrinos galten ursprünglich als masselos. 1967 gelang im Davis-Experiment (Nobelpreis 2002) der Nachweis der Existenz von Elektronneutrinos. Seit den 1990er belegten Experimente, dass Neutrinos eine Masse haben (Nobelpreis 2015), wobei die Neutrinomasse weniger als ein Millionstel der nächstgrößeren Masse, der des Elektrons, entspricht. Die Neutrinos sind somit die leichtesten Teilchen im Standardmodell. 2022 geht man von einer Masse von unter 0,8 Elektronenvolt aus. Auch die Neutrinomasse erklärt sich aus dem Higgs-Mechanismus, da auch sie den schwachen Isospin als Ladung tragen. Neutrinos sind die bei weitem häufigsten massetragenden Teilchen im Universum. Alleine von unserer Sonne stammend, durchdringen ca. 70 Milliarden Neutrinos pro Sekunde die Fläche von 1 cm².

Gravitation

Anziehungskraft gemäß Newton

Die Anziehungskraft zwischen 2 Körpern ist direkt proportional zu ihren Massen m1 und m2 und indirekt proportional zum Quadrat ihres Abstands. Die Gravitationskraft wirkt immer so, dass sich die beiden Massen anziehen. D.h. Massen können sich nicht abstossen, was elektrische Ladungen, mittels der Coulomb‘schen Kraft, sehr wohl können.

\(\overrightarrow F = \overrightarrow G \dfrac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{r^2}}}\)

\({\text{Einheit}} = kg \cdot \dfrac{m}{{{s^2}}}\)

Gravitationskonstante

Die – sehr kleine – Gravitationskonstante bestimmt, wie groß die Kräfte sind, mit der sich Massen gegenseitig anziehen. Sie ist eine Naturkonstante.

\(G = 6,67 \cdot {10^{ - 11}}\dfrac{{N{m^2}}}{{k{g^2}}}\)

Gravitation gemäß Einstein

Die allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Masse und Energie den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Zufolge starker Beschleunigung zweier Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumkrümmung zu vibrieren und sogenannte Gravitationswellen entstehen.

Die Gravitationskraft entzieht sich bis heute einer Beschreibung in der Quantenfeldtheorie. Ein Austauschteilchen, das postulierte (!) Graviton, das die Schwerkraft vermitteln würde, ist noch nicht gefunden worden. Es scheint auch kein Anti-Teilchen zum Graviton zu geben. Auch scheint es möglich, dass die Gravitation keinen (!) „kleinsten“ Wert annehmen, also beliebig klein werden kann und daher nicht quantisierbar ist. Gravitationen addieren sich grundsätzlich immer, umgekehrt ausgedrückt: Sie kompensieren sich nie gegenseitig.

Neue Erkenntnisse zur dunklen Energie stellen obige Grundsätze durchaus in Frage.

Gravitationswellen

Die Allgemeine Relativitätstheorie besagt, dass Massen und Energien den Raum krümmen und über diese Raumkrümmung die Bewegung anderer Massen beeinflussen. Alle beschleunigten Massen sind Quellen von Gravitationswellen indem sie die Raumzeit stauchen und strecken. Sie sind eine Verzerrung der Geometrie des Raumes mit einer Amplitude kleiner als der Durchmesser eines Atomkerns.

Vor der Allgemeinen Relativitätstheorie ging man davon aus, dass die Anziehungskraft zwischen 2 Massen ohne jedem Zeitverzug, also unendlich schnell, wirkt, gleichgültig wie weit die Massen von einander entfernt sind. Die von der ART vorausgesagten Gravitationswellen krümmen, bzw. bringen die Raumzeit hingegen lediglich mit Lichtgeschwindigkeit zum Schwingen.

Zufolge der starken Beschleunigung zweier extremer Massen, wie sie beim Zusammenstoß zweier Schwarzer Löcher auftreten, beginnt die Raumzeitkrümmung für Sekunden so stark zu vibrieren, dass man die entstehenden und sich mit Lichtgeschwindigkeit im Universum ausbreitenden Gravitationswellen noch auf der Erde nachweisen kann.

Im Februar 2016 wurde der Nachweis der Gravitationswellen am LIGO durch die Lasermessungen von im rechten Winkel angeordneten Strecken nachgewiesen. Davor konnte die Existenz von Gravitationswellen durch den Energieverlust zufolge der Wellenabstrahlung und die damit verbundene Verkürzung der Umlaufzeit rotierender Neutronensterne nachgewiesen werden.

Einsteinsche Feldgleichung der ART

Die Einsteinschen Feldgleichungen, auch Gravitationsgleichungen der ART stellen einen Zusammenhang zwischen dem Einstein-Tensor G mit den Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor T her. Mit anderen Worten handelt es sich um die gegenseitige Beeinflussung von der Energie-Impulsverteilung im Universum mit der Geometrie der Raumzeit.

Einsteinsche Feldgleichung ohne kosmologischer Konstante:

\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)

Einsteinsche Feldgleichung mit kosmologischer Konstante:

\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)

T enthält die lokale Massendichte bzw. über E=mc² die Energiedichte und charakterisiert damit die gravitationsrelevanten Eigenschaften der Materie. Zur Aufrechterhaltung von Energie- und Impulserhaltungsatz muss \(\nabla {T_{\mu \nu }} = 0\) die Divergenz vom Energie-Impulstensor bei festen RaumZeit-Koordianten null sein.

Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Raumzeit, die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Masse, die die Krümmung der Raumzeit bedingt. Eine triviale Schlussfolgerung: Wo es weder Masse noch Energie (gemäß E=mc²) gibt, dort gibt es auch keinen Raum und keine Zeit! D.h. für den Urknall, dass sich nicht die Materie in ein leeres Universum hinein ausbreitet, sondern dass sich das Universum selbst, und zwar nur dort wo es Materie gibt, ausdehnt.

Die einfache Form obiger Gleichung täuscht! Komplett ausformuliert, besteht sie aus mehreren nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen, für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden daher neue Lösungen für Spezialfälle gefunden.

Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung

Alle vier hier beschriebenen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben „Schwarze Löcher“ und sie vereinfachen die ursprüngliche Tensorgleichung:

• Die „Schwarzschild Lösung“ (1916) geht von einem ungeladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Schwarzschild-Loch hat nur eine einzige Eigenschaft: Masse
• Die „Reissner-Nordstrom-Lösung“ (1918) geht von einem elektrisch geladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Reissner-Nordstrom-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Ladung
• Die „Kerr-Lösung“ (1963) lässt bereits eine Rotation des nicht geladenen, ringförmigen schwarzen Lochs zu; Ein Kerr-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls
• Die „Kerr-Newmann-Lösung“ (1965) ist die allgemeinste Lösung, lässt sie doch elektrische Ladung und Rotation zu; Ein Kerr-Newmann-Loch hat 3 Eigenschaften: Masse, Ladung und Drehimpuls

In der Praxis der Astrophysik spielt die Ladung aber keine Rolle, da Ausgleichsströme im Plasma diese Ladungen neutralisieren würden. Es bleiben also die Schwarzschild- und Kerr-Löcher über, und die besitzen maximal 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls.

Linearisiert man die Feldgleichungen, so erhält man die einfacheren Wellengleichungen.

Kosmologische Konstante \(\Lambda \)

Einstein hatte die Vorstellung eines statischen Universums, welches sich nicht ausdehnt. Um das in seiner Feldgleichung mathematisch zu erzwingen, führte er den „Lambda-Term“ also die kosmologische Konstante ein. Die kosmologische Konstante steht dabei für eine Art von Vakuumenergie. Die kosmologische Konstante hat heute die Bedeutung einer Energiedichte vom Vakuum.

\(\eqalign{ & {G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr & {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr} \)

• Eine negative kosmologische Konstante / Lambda verstärkt die Gravitation, darauf deutet derzeit nichts hin, im Gegenteil:
• ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“ also so, wie die dunkle Energie. Mit einem kleinen positiven Wert erhält man ein exponentiell expandierendes Universum. Man spricht vom Einsten-de Sitter Model.

Die Hubble Konstante H₀

Nach der Entdeckung des Hubble-Effekts (1929), demzufolge sich das Universum gemäß der Hubble Konstante um 67..75 km pro Sekunde pro Megaparsec (67..75 km/s pro 3,3 Millionen Lichtjahre Entfernung) ausdehnt, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie als seine „größte Eselei“. 

1985 haben Messungen der kosmischen Expansion mittels Ia-Supanovae („Standardkerzen“) zudem gezeigt, dass sich die Hubblesche Ausdehnung des Universums nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt. Dafür macht man die sogenannte dunkle Energie verantwortlich, die entgegengesetzt zur Schwerkraft wirkt und die Massen im Universum immer stärker auseinandertreibt.

Eine exakte Bestimmung der Hubble Konstanten wäre von entscheidender Bedeutung für das Ausmaß der Beschleunigung der kosmischen Expansion. 

Friedmann Gleichungen

Die beiden Friedmann Gleichungen resultieren aus eine Vereinfachung der Tensorgleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie unter der Annahme eines homogenen (gleichmäßig aufgebauten) und isotropen (richtungsunabhängigen) Universums. Ein isotropes Universum hat in alle Richtungen die gleichen Eigenschaften. Die Materie, die in den Planeten, Sternen und Galaxien punktuell enthalten ist und deren Zwischenräume die von Vakuum erfüllt sind, denkt man sich als gleichmäßig über das Universum verschmiert. Die Friedmann Gleichungen beschreiben die Entwicklung des Universums mit fortschreitender Zeit.

1. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:

Die erste Friedmann-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Expansionsrate des Universums, der Energiedichte im Universum, der Krümmung des Raums und eines Skalenfaktors. Hinzu kommt der Druck zufolge der kosmologischen Konstante.

\(\eqalign{ & {H^2}\left( t \right) = {\left( {\dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi G}}{3} \cdot \rho - \dfrac{{k{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & mit\,\,...\,\,\Omega - 1 = \dfrac{k}{{{H^2} \cdot {a^2}}} \cr} \)

\(\Omega = \dfrac{{8\pi G\rho }}{{3{H^2}}}\)

2. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:

Die zweite Friedmann-Gleichung beschreibt, wie die Beschleunigung der Expansion des Universums von der Energiedichte und dem Druck im Inneren des Universums abhängt. Hinzu kommt der Druck zufolge der dunklen Energie repräsentiert durch die kosmologischen Konstante.

\(\eqalign{ & \mathop H\limits^ \cdot + {H^2} = \dfrac{{\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }}{a} = - \dfrac{{4\pi G}}{{3{c^2}}}\left( {\rho {c^2} + 3p} \right) + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & H\left( t \right) = \dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a} \cr}\)

Die Friedmann Gleichungen sind Differentialgleichungen - da sie den Skalenfaktor a sowie dessen 1. und 2. zeitliche Ableitung enthalten - bei denen man folgende 3 Fälle an Hand des Krümmungsparamters k unterscheiden kann:

• k = -1: offenes Universum: Das Universum expandiert ohne Schranke, da die Gravitation nicht in der Lage ist die Expansion zu bremsen. Die Sterne erkalten und die Galaxien, ja sogar die Schwarzen Löcher, verdampfen. Das Universum erreicht den absoluten Nullpunkt der Temperaturskala und stirbt den Kältetod.
• k = 0: flaches Universum: Das Universum dehnt sich asymptotisch bis zu einer endlichen Größe aus, D.h. es existiert im Universum genau so viel Masse, dass deren Gravitation die Expansion bei einer bestimmten Ausdehnung abstoppt. Das Universum stirbt den Kältetod.
• k = +1: geschlossenes Universum: Das Universum enthält so viel Masse, dass unter der Wirkung der Gravitation die Ausdehnung zum Stillstand kommt und danach kollabiert das Universum im „Big Crunch“

Zusammenhang Krümmungsparameter k und kosmologische Konstante \(\Lambda\)

Der Krümmungsparameter k und die kosmologische Konstante Lambda machen einerseits Aussagen über die Krümmung des Universums und andererseits über die Dynamik der Ausbreitung des Universums. Sie sind abhängig von der Dichte an Materie und von der Dichte der dunklen Energie im Universum. Sie bestimmen ob sich das Universum in Richtung Expansion, Stagnation oder Kontraktion entwickelt. 

Zusammenhang zwischen dunkler Energie bzw. zugehöriger kosmologischer Konstante und Vakuumenergiedichte

Die dunkle Energie ist ein Begriff der Gravitationstheorie, während die Vakuumenergiedichte ein Ausdruck der Quantenfeldtheorie ist, wodurch die beiden Theorien in einen Zusammenhang gesetzt werden können. Die dunkle Energie kann dann nämlich als eine Art der Vakuumenergiedichte interpretiert werden.

• Die dunkle Energie wird postuliert um die messbare beschleunigte Expansion des Universums zufolge ihrer negativen Gravitationswirkung zu erklären. Sie wird dort durch die kosmologische Konstante \(\Lambda\) repräsentiert und findet sich sowohl in der einsteinschen Feldgleichung der ART als auch in den beiden Friedmann-Gleichungen wieder.
• Die Vakuumenergiedichte ist jene - von Null ungleiche - Energiemenge, die dem leere Raum zugeschrieben wird. Sie ist die niedrigste Energiedichte eines quantenmechanischen Feldes. Sie spielt bei der Theorie des inflationären Universums zusammen mit der Energie des Higgsfeldes eine Rolle. Sie dominiert den Zeitraum von 10^-36 s bis 10^-34 s nach dem Urknall, während der sich das Universum exponentiell um das ca. 10²⁶ -fache ausgedehnt haben könnte. Nach diesem Zeitraum dehnt sich das nunmehr strahlungsdominierte Universum zufolge der Friedmann-Gleichungen aus.