Elemente einer Menge
Für jedes unterscheidbares Objekt einer Grundmenge muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge,
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Formeln
Menge
Die Mengenlehre beschäftigt sich mit Mengen M, die eine die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten {x1, x2, …, xn} aus der Grundmenge G sind.
- Eindeutigkeit der Elemente: Für jedes Objekt muss man eindeutig entscheiden können, ob es zur Menge M gehört, dann nennt man es Element der Menge, oder ob es kein Teil der Menge ist. Eine Menge ist also durch ihre Elemente vollständig beschrieben.
- Unabhängigkeit der Repräsentation: Jedes Element kann nur einmal in der Menge enthalten sein. Das mehrfache Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}. Es ist egal, in welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden. Wenn es hingegen auf die Aufzählreihenfolge ankommt, dann spricht man von einem Tupel, nicht von einer Menge.
- Zur Beschreibung von Mengen wird häufig der Ausdruck " für die gilt" - dargestellt durch einen Längsstrich "|" verwendet. Für alle Elemente der Menge gilt dann der nachfolgende Term. z.b.: x<7
- Gleichheit von Mengen: Mengen sind gleich, wenn sie die unabhängig von der Reihenfolge oder Darstellung die selben Elemente enthalten.
- Verknüpfung von Mengen: Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einander verknüpft werden.
- Beziehungen zwischen Mengen: Zwei Mengen A und B können in unterschiedlichen Relationen zu einander stehen.
Mathematisch schreibt man eine Menge in geschweiften Klammern "{}" auf und listet die Elemente der Menge innerhalb dieser Klammern auf.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in N|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {{\text{Karl}}{\text{, Kurt}}{\text{, Sophie}}} \right\} \cr} \)
Schreibweise für Mengen in der Mengenlehre:
- aufzählende Darstellung. \(M = \left\{ {3,4,5,...\infty } \right\}\)
Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. - beschreibende Darstellung: \(M = \left\{ {x\left| {x \geqslant 3} \right.} \right\}\)
Man verwendet geschwungene Klammern. Dazwischen steht dann eine mathematische Formulierung vom Typ: "Variable für die gilt" + "mathematischer Term".
Grundmenge
Die Grundmenge G setzt sich aus allen, in einem konkreten mathematischen Zusammenhang betrachteten Objekten zusammen. Ihr Symbol sieht wie folgt aus: \(G\)
Element einer Menge
Um anzugeben ob ein Objekt zu einer Menge gehört verwendet man das "Element von" Symbol ∈
- x ist Element der Menge M: \(x \in M\)
Nicht Element einer Menge
Um anzugeben, dass ein Objekt nicht zu einer Menge gehört, verwendet man das "kein Element von" Symbol ∉
- x ist kein Element der Menge M: \(x \notin M\)
Mächtigkeit oder die Kardinalität einer Menge
Die Mächtigkeit oder die Kardinalität einer endlichen Menge, ist gleich der (abzählbaren) Anzahl n ihrer Elemente. Null ist die Kardinalität der leeren Menge
\(\eqalign{
& \left| M \right| = n \cr
& \cr
& M = \left\{ {} \right\} \cr
& \left| M \right| = 0 \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & M = \left\{ {a,b,c,d,e} \right\} \cr & \left| M \right| = 5 \cr} \)
Leere Menge
Die leere Menge enthält kein Element, also auch nicht die „Null“. Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Die leere Menge hat wiederum die leere Menge als einzige Teilmenge.
\(M = \left\{ {} \right\}\)
Endliche Menge
Eine endliche Menge enthält endlich viele Elemente.
Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.
\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,n} \right\} \cr & n = \left| M \right| \cr}\)
Unendliche Menge
Eine unendliche Menge enthält unendlich viele Elemente.
Genauer: Eine nichtleere Menge M heißt unendlich, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, und nachfolgende bijektive Abbildung gilt.
\(\eqalign{ & f:M \to \left\{ {1,2,3,...,\infty } \right\} \cr & \infty = \left| M \right| \cr}\)
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Zahlen in Listenform
In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Wir fassen nachfolgen kurz die diesbezüglich wichtigsten Listenformen für Zahlen zusammen. Wir verwenden dabei folgende Sprachregelung:
- Elemente: Mengen setzen sich aus Elementen zusammen.
- Koeffizienten eines Gleichungssystems: Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor den Variablen einer Gleichung stehen
- Komponenten einer Matrix: Matrizen setzen sich aus Komponenten zusammen. (Obwohl hier leider oft "Element" statt "Komponente" verwendet wird.) Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Index der Komponenten einer Matrix: Die Position jeder Komponente in der Matrize wird durch zwei Indizes i (=Zeile) und k (=Spalte) beschrieben.
- Koeffizientenmatrix: Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen lässt sich als Koeffizientenmatrix anschreiben. Die Komponenten aikder Matrix entsprechen den Koeffizienten aikim linearen Gleichungssystem
- Gleichungsmatrix: Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizientenmatrix um eine weitere Spalte nach rechts. In dieser Spalte werden die Konstanten gemäß der "rechten Seite" vom linearen Gleichungssystem geschrieben.
Menge
Eine Menge stellt die Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Gesamtheit dar. Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. Entscheidend ist, ob ein Element Teil der Menge ist oder ob nicht. Das mehrfaches Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}
Zusammenhang: Tupel - Vektor - Matrix - Tensor
Tupel, Vektor, Matrix oder Tensor sind verschieden komplexe Schreibweisen für Objekte, die zu einer Liste, unter Berücksichtigung der Reihenfolge, zusammengefasst wurden. Dadurch unterscheiden sie sich von einer Menge, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.
Tupel
Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle. (1,2,3)≠(3,2,1). Das mehrfaches Anschreiben von gleichlautenden Komponenten hat eine Bedeutung. (1,1,2,2,3,3)≠(1,2,3). Jede Komponente im Tupel hat ihren eindeutigen Platz.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- Ein 2er Tupel wird auch geordnetes Paar genannt; z.B.: (x, f(x))
- Ein 3er Tupel wird auch Trippel genannt; z.B.: (x1,y1,z1)
- Ein 4er Tupel wird auch Quadrupel genannt; z.B.: (x1,y1,z1,t1)
Vektor
Vektoren sind eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (x1,y1,z1) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- an: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
- n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.
Aus der Geometrie sind uns
- 2-dimeonsionale Vektoren (ebene Geometrie)
- 3-dimensionele Vektoren (räumliche Geometrie) vertraut.
Aus der Physik, speziell der speziellen Relativitätstheorie, sind uns
- 4-dimensionele Tupel vertraut.
- Ihre ersten drei Dimensionen beschreiben den Raum,
- ihre vierte Dimension beschreibt die Zeit.
Matrix
Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix der m x n ten Ordnung. Die Komponente aik mit den Indizes ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Auch die Zeilen oder Spalten einer Matrix sind Tupel.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)
Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise
→ Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann mit Hilfe einer Koeffizientenmatrix und zweier Spaltenvektoren angeschrieben werden.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{12}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{1n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_1}}\\ {{a_{21}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{22}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{2n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_2}}\\ {...}& + &{...}& + &{...}& + &{...}& = &{...}\\ {{a_{m1}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{m2}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{mn}} \cdot {x_n}}& = &{{b_m}} \end{array}\)
Koeffizientenmatrix
Die Koeffizientenmatrix besteht aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Der 1. Spaltenvektor besteht aus den Komponenten von der Variablen x, während die rechte Seite der Gleichungen den 2. Spaltenvektor bildet.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{_{m1}}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_m}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_m}} \end{array}} \right) \Leftrightarrow A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \)
Wenn die inverse Matrix A-1 existiert, dann kann man nach x wie folgt auflösen: \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}} \cdot \overrightarrow b\)
Gleichungsmatrix
Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann aber auch mit Hilfe einer sogenannten Gleichungsmatrix angeschrieben werden. Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizeintenmatrix um eine zusätzliche, durch einen lotrechten Strich abgetrennte Spalte, in der die Konstanten bi der rechten Seite vom zugrunde liegenden linearen Gleichungssystem stehen
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\left| {{b_1}} \right.}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{\left| {{b_2}} \right.}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{\left| {{b_m}} \right.} \end{array}} \right)\)
Determinante
Determinanten sind Zahlen(werte) die man (ausschließlich) einer quadratischen Matrix zuordnen kann und die aus deren Komponenten berechnet werden.
Tensor
Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, welches Komponenten hat. Jede Tensorkomponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. Tensoren definieren sich über die Weise, in der ihre Komponenten transformieren.
- Ein Skalar ist ein Tensor der 0. Stufe
- Ein Vektor ist ein Tensor der 1. Stufe
- Eine 3 x 3 Matrix ist ein Tensor der 2. Stufe, dieser besteht also aus 9 Komponenten. Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe transformieren
- kontravariant
- kovariant
- gemischt
- Aus der Physik, speziell der allgemeinen Relativitätstheorie, sind uns mehrdimensionale Tupel vertraut.
Geht bei einer Koordinatentransformation die Komponente \({x^a}\) in \({x^{a'}}\) über gemäß
-
kontravariante \({T^{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^{b'}}}}{{\partial {x^b}}}{T^{ab}}\)
-
kovariante \({T_{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{a'}}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T_{ab}}\)
-
gemischte \({T^{a'}}_{b'} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T^a}_b\)
so ist T ein Tensor 2. Stufe.
Aufgaben
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)
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