Fläche Kreis
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Formeln
Kreis
Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.
\(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)
- Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
- Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
- Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)
Kreismittelpunkt
Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.
Kreisradius
Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
\(r = \overline {MP} \)
Kreisdurchmesser
Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.
\(d = 2r\)
Kreisumfang
Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.
\(U = 2r\pi = d\pi \)
Kreiszahl π
Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
\(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)
Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)
Kreisfläche
Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.
\(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)
Illustration vom Kreis
Kreissektor
Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
\(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)
Beispiel:
Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)
Länge vom Kreisbogen
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)
Beispiel:
Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5{\text{ cm}} \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)
Illustration von Kreissektor und Kreisbogen
Kreisring
Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.
\(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)
Illustration vom Kreisring
Kreissegment
Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\) ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.
\(\eqalign{
& s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
& U = b + s \cr
& A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)
Illustration vom Kreissegment
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Aufgaben
Aufgabe 4189
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flüssigkeitsbehälter - Aufgabe A_063
Teil b
Ein Raum hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a. Es werden darin 4 zylindrische Gefäße mit gleichem Außendurchmesser gelagert (siehe nachstehende Abbildung, Ansicht von oben).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der farbig markierten Fläche aus der Seitenlänge a.
[1 Punkt]
A =
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