Flächeninhalt - bestimmtes Integral

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion

\(h:x \mapsto \dfrac{3}{{{e^{x + 1}} - 1}}{\text{ mit }}{D_h} = \left] { - 1; + \infty } \right[\)

Abbildung 1 zeigt den Graphen G_h von h.

1. Teilaufgabe a.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 0\) gilt.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie rechnerisch für \(x \in {D_h}\) dass für die Ableitung h‘ von h gilt: \(h'\left( x \right) < 0\)

Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion

\({H_0} = x \mapsto \int\limits_0^x {h\left( t \right)} \,\,dt\).

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist streng monoton steigend.

4. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr ist: Der Graph von H₀ ist rechts gekrümmt

5. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Nullstelle von H₀ an.

6. Teilaufgabe c.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

 Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe der Abbildung die Funktionswerte H₀ (-0,5) sowie H₀ (3) .

7. Teilaufgabe c.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von H₀ im Bereich \( - 0,5 \leqslant x \leqslant 3\)

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Der Graph Gf einer in \({\Bbb R}\)  definierten Funktion

 \(f:x \mapsto a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3}{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)

Punkt O(0 | 0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

W(1| -1) ist ein weiterer Wendepunkt von G_f .

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f .

Die Gerade g schneidet G_f in den Punkten W und (2 | 0).

3. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.

4. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.

G_f und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.

5. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00

Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Integral einer Funktion f

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Polynomfunktion f. Alle Nullstellen sind ganzzahlig. Die Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse begrenzt wird, ist schraffiert dargestellt. A bezeichnet die Summe der beiden schraffierten Flächeninhalte.

Aufgabenstellung:
Geben Sie einen korrekten Ausdruck für A mithilfe der Integralschreibweise an!
A =

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bestimmte Integrale

Nachstehend ist der Graph einer Polynomfunktion f mit den Nullstellen \({x_1} = - 1;\,\,\,\,\,{x_2} = 0;\,\,\,\,\,{x_3} = 2;\,\,\,\,\,{x_4} = 4\) dargestellt. Für die mit A₁, A₂ und A₃ gekennzeichneten Flächeninhalte gilt: A₁ = 0,4; A₂ = 1,5 und A₃ = 3,2.

Aufgabenstellung
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die wahre Aussagen sind. [0 / 1 Punkt]

• Aussage 1: \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,9\)
• Aussage 2: \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,7\)
• Aussage 3: \(\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 5,1\)
• Aussage 4: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} \,\,dx = 1,5\)
• Aussage 5: \(\int\limits_2^4 {f\left( x \right)} \,\,dx = 3,2\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Halbierung einer Fläche

Gegeben ist die reelle Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2}\)

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Stelle b so, dass die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f im Intervall [2; 4] in zwei gleich große Flächen A₁ und A₂ geteilt wird (siehe Abbildung)!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tachograph

Mithilfe eines Tachographen kann die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs in Abhängigkeit von der Zeit aufgezeichnet werden. Es sei v(t) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Die Zeit wird in Stunden (h) angegeben, die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde (km/h). Ein Fahrzeug startet zum Zeitpunkt t= 0.

Aufgabenstellung:
Geben Sie die Bedeutung der Gleichung \(\int\limits_0^{0,5} {v(t)} \,dt = 40\) unter Verwendung der korrekten Einheiten im gegebenen Kontext an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Integral

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer punktsymmetrischen Funktion f (das bedeutet: f(–x) = –f(x) dargestellt. Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [0; 3] ist rot unterlegt. Ihre Maßzahl beträgt 6,75.

• Aussage 1: \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)
• Aussage 2: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 13,5\)
• Aussage 3: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = - 13,5\)
• Aussage 4: \(\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)} \,\,dx = 0\)
• Aussage 5: \(\int\limits_{ - 3}^0 {f\left( x \right)} \,\,dx = 6,75\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!

AHS - 1_096 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Begrenzung einer Fläche

Der Inhalt derjenigen Fläche, die vom Graphen der Funktion \(f:x \to {x^2}\) , der positiven x-Achse und der Geraden mit der Gleichung x = a (a ∈ ℝ) eingeschlossen wird, beträgt 72 Flächeneinheiten.

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Wert a!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Flächeninhalt

Abgebildet ist ein Ausschnitt des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f(x) = - \dfrac{{{x^3}}}{8} + 2 \cdot x.\) Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse im Intervall [–2; 2] ist grau markiert.

Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten Fläche!

AHS - 1_060 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bestimmte Integrale

Gegeben ist die Funktion \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x\)

Die nachstehende Tabelle zeigt Integrale

Die nachstehende Tabelle zeigt Graphen der Funktion mit unterschiedlich schraffierten Flächenstücken.

• Graph 1:
  
• Graph 2:
  
• Graph 3:
  
• Graph 4:
  

Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob die obenstehend angeführten Integrale (aus A bis F) den Flächeninhalt einer der markierten Flächen der Graphen (1 bis 4) ergeben, und ordnen Sie entsprechend zu!

AHS - 1_183 & Lehrstoff: AN 4.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Flächenberechnung
Die Summe A der Inhalte der beiden von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Flächen soll berechnet werden.

• Aussage 1: \(A = \int\limits_1^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
• Aussage 2: \(A = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx + \int\limits_3^8 {\left[ {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]} } \,\,dx\)
• Aussage 3: \(A = \left| {\int\limits_1^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\,\,dx} } \right|\)
• Aussage 4: \(A = \int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx - \int\limits_3^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx\)
• Aussage 5: \(A = \left| {\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right| + \left| {\int\limits_3^8 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,\,dx} \right|\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schnitt zweier Funktionen

Gegeben sind die beiden reellen Funktionen f und g mit den Gleichungen \(f\left( x \right) = {x^2}\) und \(g\left( x \right) = - {x^2} + 8\)

Aufgabenstellung:
Im nachstehenden Koordinatensystem sind die Graphen der beiden Funktionen f und g dargestellt. Schraffieren Sie jene Flache, deren Große A mit \(A = \int\limits_0^1 {g\left( x \right)\,\,dx - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} } \,\,dx\) berechnet werden kann!

Bild