Geodäte

Relativitätstheorien

Newtonsche Theorien

Die Newtonsche Mechanik berücksichtigt die Gravitation als eine Kraft wie jede andere Kraft. Die Gravitationskraft hängt von der Masse der beteiligten Objekte, dem Quadrat ihres Abstands und von einer Gravitationskonstante ab. Die Newtonsche Gravitation gilt nur für Geschwindigkeiten die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird bei Newton als „unendlich“ angesehen.

Spezielle Relativitätstheorie (SRT - 1905)

Ausgehend vom Experiment von Michelson und Morley, welches zeigte, dass das Licht - anders als Schall - kein Medium (namentlich den Lichtäther als bevorzugtes Bezugssystem) zu seiner Ausbreitung und zum damit verbundenen Energietransport benötigt, basiert die SRT auf dem Prinzip der Konstanz der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der rein theoretischen Betrachtung von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Bezugssysteme, leiten sich Phänomene wie die Längenkontraktion und die Zeitdilation ab, die erst Jahrzehnte später experimentell bewiesen werden konnten. In der SRT sind Ort, Zeit und Geschwindigkeit relativ, nur die Beschleunigung und die Lichtgeschwindigkeit sind absolut. Auf Grund des späten experimentellen Nachweises hat Einstein auch nie einen Nobelpreis für die Relativitätstheorien erhalten! Weiters wurde im Rahmen der SRT die Äquivalenz von Energie und Masse gemäß \(E = m \cdot {c^2}\) hergeleitet.

Allgemeine Relativitätstheorie (ART - 1915)

Beinhaltet vollständig die SRT und geht weit darüber hinaus und zwar durch die Betrachtung von gegeneinander beschleunigten Bezugssysteme und der Einbeziehung der Gravitation unter relativistischen Gesichtspunkten. Betrachtet wird die 4-dimensionale Raumzeit (x,y,z und t). Masse krümmt alle 4 Dimensionen der Raumzeit. Körper sowie Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten, die den kürzesten Weg in dieser gekrümmten Raumzeit darstellen. Die Formeln der ART basieren mathematisch auf Tensoren. In der ART sind Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung relativ, nur die Lichtgeschwindigkeit ist endlich und absolut. Die Gültigkeit der ART wurde durch die Lichtablenkung von Sternenlicht durch die Sonne nachgewiesen, durch die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, durch die Frequenzänderung von Licht zufolge des Gravitationsfeldes der Erde, durch den Nachweis von Gravitationswellen, die durch den Zusammenprall von schwarzen Löchern entstanden sind und die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

Körper und Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit.  Einstein beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraft (wie bei Newton), sondern als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit. Materie, die keiner Kraft ausgesetzt ist, bewegt sich durch die Raumzeit entlang von Geodäten. Die Bewegung entlang der Geodäten nehmen wir als Gravitation wahr.

Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut auf folgenden Prinzipien auf

• Starkes Äquivalenzprinzip, demzufolge „träge Masse“ und „schwere Masse“ äquivalent sind bzw. es keinen Unterschied zwischen Schwerkraft und Kräften zufolge von Beschleunigung gibt
• Kovarianzprinzip, demzufolge in allen Bezugssystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten. Die Anwesenheit von Materie oder Energie verursacht eine Krümmung der Raumzeit. Raum, Zeit und Materie sind untrennbar mit einander verbunden.

Die ART gilt als grundsätzlich richtige aber unvollständige Theorie, ähnlich wie man Newtons Theorien als grundsätzlich richtig aber doch nur ein Spezialfall der SRT bzw. ART verstehen kann.

Unvollständigkeit der ART

Sosehr sich die Allgemeine Relativitätstheorie ART auch bewährt, so versagt sie doch an zwei wichtigen Stellen.

Einerseits an den beiden Krümmungssingularitäten der Astronomie, weil sie dort keine Verknüpfung zwischen Energie bzw. Masse und der Krümmung der Raumzeit machen kann:

1. Raumzeit-Singularität: Im Zentrum eines schwarzen Lochs
2. Urknall-Singularität: Im unendlich kleinen Universum zum Zeitpunkt des Urknalls

Hier treten mathematisch nicht definierte Zustände (Division durch Null) auf und führen zu den beiden genannten Singularitäten. 

Andererseits ist es bis heute noch nicht gelungen, die ART in Einklang mit der Quantenphysik zu bringen und eine Theorie der Quantengravitation zu schaffen.

1960 wurde Stephen Hawking berühmt für den Beweis der notwendigen Existenz von Singularitäten in der ART, und dass die ART daher unvollständig ist und in irgend einer Weise nachgebessert werden muss. Seit 1970 beschäftigte sich Stephen Hawking damit, diese Unzulänglichkeiten der ART durch eine Quantentheorie der Gravitation, also einer Quantisierung der Gravitation, die ohne Singularitäten auskommt, zu beheben.

Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern

Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstieg in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente, ausgehend vom einfachsten Objekt, dem "Punkt".

Punkt

Ein Punkt repräsentiert eine konkrete Position in einem Koordinatensystem. Der Punkt ist ein null-dimensionales Objekt, also ein Objekt ohne Ausdehnung (ohne Länge, Breite oder Höhe). Daher hat er auch keine physikalische Einheit. Punkte werden mit Großbuchstaben beschriftet, etwa P₁, P₂,...

Linie

Die Linie ist ein Oberbegriff für zusammenhängende eindimensionale geometrische Objekte wie Geraden oder Kurven. Als eindimensionales Objekt hat die Linie eine Länge und somit die physikalische Einheit "Meter". Linien werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, etwa mit g, f. Gerade werden mit den Mitteln der linearen Geometrie beschrieben, Kurven mit den Mitteln der nichtlinearen Geometrie.

Gerade

Die Gerade ist eine unendlich lange Linie ohne Begrenzungspunkte. Eine Gerade wird durch 2 Punkte definiert und verbindet diese durch eine nicht gekrümmte Linie.

Strahl bzw. Halbgerade

Die Halbgerade ist eine unendlich lange Linie, die von einem Begrenzungspunkt ausgeht.

Strecke

Die Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten. Die beiden Punkte begrenzen die Strecke, indem sie den Anfangs und den Endpunkt der Strecke festlegen. Entlang des Weges vom Anfangs- zum Endpunkt liegen unendlich viele Punkte. Wenn die Strecke eine Länge ungleich null hat, dann stellt sie eine unendliche Punktmenge dar.

Geodäte

Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Begrenzungspunkten auf gekrümmten Flächen (Kugeloberfläche) oder in der gekrümmten Raumzeit der allgemeinen Relativitätstheorie

Kurve

Eine Kurve ist eine gekrümmte Linie. Obwohl die Punkte der Kurve in einer Ebene oder sogar im Raum liegen, ist die Kurve eindimensional, weil man sich auf ihr nur in eine Richtung bzw. deren Gegenrichtung bewegen kann. Mandelbrot erkannte, dass es Kurven (Küstenlinien) gibt, die ein Mittelding zwischen Linie und Fläche sind, und führte neben den ganzzahligen Dimensionen die gebrochenzahlige fraktale Dimensionen ein.

Geometrische Figur

Eine geometrische Figur ist eine Teilmenge von Punkten, die entweder in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum liegen. Letztere werden auch als Körper bezeichnet. Die einfachste geometrische Figur ist die Gerade, bzw. die Strecke als deren Teilmenge.

Geometrischer Körper

Geometrische Körper kann man anhand ihrer Kanten, Ecken und Begrenzungsflächen unterscheiden

Stereometrie

Die Stereometrie ist jenes Teilgebiet der Geometrie, welches sich mit dreidimensionalen Gebilden beschäftigt. Dazu gehören speziell die Berechnung vom Volumen und von der Oberfläche des Körpers.

Kanten eines Körpers

Kanten entstehen dort, wo sich 2 Begrenzungsflächen eines Körpers schneiden.

Ecken eines Körpers

Ecken entstehen dort, wo sich 3 Kanten eines Körpers schneiden.

Oberfläche eines Körpers

Die Oberfläche eines Körpers setzt sich zusammen aus der Mantelfläche plus den Grund- bzw. Deckflächen. Die Oberfläche ist also die Summe aller Begrenzungsflächen. Oberfläche = Mantel(fläche) + Grundfläche + Deckfläche

Netz eines Körpers

Als Netz bezeichnet man die in einer Ebene ausgebreitete Oberfläche. Breitet man alle Begrenzungsflächen in einer Ebene aus, so erhält man das Netz des Körpers

Mantelfläche eines Körpers

Die Mantelfläche eines Körpers ist dessen Oberfläche, abzüglich der Grund- und der Deckfläche

Diagonale in geometrischen Figuren und Körpern

Als Diagonale bezeichnet man die kürzest mögliche Verbindung zweier einander gegenüber liegender Eckpunkte in Vielecken oder einander gegenüber liegender Ecken eines Körpers.

Sehwinkel

Der Sehwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Objekt in der Ferne von einem Beobachter wahrgenommen wird.

Höhenwinkel

Der Höhenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen aufwärts gemessen wahrgenommen wird

Tiefenwinkel

Der Tiefenwinkel ist derjenige Winkel, unter dem ein Punkt in der Ferne von der Horizontalen abwärts gemessen wahrgenommen wird