Geometrische Folge

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)

Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)

Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.

Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:

\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)

Arithmetische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe s_n entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)

• d < 0: fallende Folge
• d = 0: konstante Folge
• d > 0: steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss. 
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder

\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:

Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet: 

\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)

Geometrische Zahlenfolge

Eine Zahlenfolge a_i ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)

\(​q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)

• q<0 : alternierende Folge
• 0<q<1 : fallende Folge
• q=1 : konstante Folge
• q>1 : steigende Folge

Rekursive Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds a_n+1 das n-te Vorgängerglied a_n kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)

Explizite Formel

Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.

\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)

Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)

Beispiel:

Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge

Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden

\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)