Gleichung der Parabel

Gleichung der Parabel

Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.

\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)

Illustration einer nach links verschobenen Parabel

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Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel

\(y = a \cdot {x^2}\)

Der Scheitelpunkt S der Normalparabel liegt im Ursprung des Koordinatensystems:  \(S\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) 
Die Leitlinie l ist die vertikale Linie \(x = - 1\) bzw: \(l:x = - \dfrac{p}{2}\)

Für die Brennweite e gilt \(e = 1 \to p = 2\) ​

Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel

Allgemeine Form der Parabel

Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der Parabel

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.

\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der Parabel

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.

\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)

Parameterdarstellung der Parabel

\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)

Scheitelpunktform der Parabel

Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel. 

\(\eqalign{ & y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr & {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr & f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)

Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr & {\text{mit:}} \cr & S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)

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Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)  herleiten. 

Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)

Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel (mit p=1/2)

• 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
• 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
• 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
• 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)

Parabeln vom Grad n:

\(f\left( x \right) = {x^n}\)

n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.

n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:

n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:

Lagebeziehung Punkt und Parabel

Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen

• P liegt innerhalb der Parabel:
  \({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt auf der Parabel:
  \({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
• P liegt außerhalb der Parabel:
  \({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)

Lagebeziehung Gerade und Parabel

Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt \(T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right)\) erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.

Berührbedingung Gerade an Parabel

Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen. Für eine Parabel in 1. Hauptlage gilt somit:

\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)

\(p = 2dk\)

Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel in 1. Hauptlage

Die Spaltform der Tangente an eine Parabel in 1. Hauptlage ist eine spezifische Darstellung der Tangentengleichung, die eine Alternative zur Punkt-Steigungsform und zur allgemeinen Geradengleichung der Tangente ist. Sie visualisiert besonders deutlich, wie sich der Parameter p der Parabel direkt in der Gleichung der Tangente wiederfindet.

Von der Spaltform spricht man, weil man den quadratischen Term der Parabelgleichung in Normalform (y² = 2px) so aufspaltet, dass er als Produkt aus dem y-Wert des Berührpunkts und der Variablen y dargestellt wird und man das Produkt 2px zu einer Summe aus dem x-Wert des Berührpunkts und der Variablen x umformt.

Für eine Parabel in 1. Hauptlage gilt somit:

\(\eqalign{ & T\left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in par \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr & \cr & {\text{Spaltform:}} \cr & par:y \cdot y = p \cdot x + p \cdot x \cr & y \cdot {y_T} = p \cdot x + p \cdot {x_T} \cr} \)

Die Tangentengleichung t in einem Punkt T einer Parabel par in 1. Hauptlage lautet:

\(t:y \cdot {y_T} = p \cdot \left( {x + {x_T}} \right)\)

"Spaltform" weil, wie man sieht, wurde der quadratische Term zu einem Produkt \(y \cdot {y_T}\) aufgespaltet und der Term 2px zu einer Summe \({x + {x_T}}\) umgeformt.

Quadratischen Gleichung mit einer Variablen

In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.

Gleichung 2. Grades

Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied

\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)

Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.

• Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
• Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
• Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse

Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel

Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“

oder „große Lösungsformel“ genannt.

\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)

Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x₁ ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x₂ ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.

Quadratische Gleichung in Normalform

Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied

\({x^2} + px + q = 0\)

Normierte quadratische Gleichung

Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren

\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel

Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.

\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)

Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten: 

\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)

Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.

Rein quadratische Gleichung

Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.

\(a \cdot {x^2} + c = 0\)

Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung

Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung

\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)

Diskriminante

In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.

Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.

1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse 
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.

Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen

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Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung

Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.

\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)

→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.