Hochpunkt einer Funktion

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}}{\text{ mit }}{D_f} = {\Bbb R}\backslash \left\{ { - 3; - 1} \right\}\).

Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Zeigen Sie, dass f (x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

• Term 1: \(\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {x + 3} \right)}}\)
   
• Term 2: \(\dfrac{2}{{{x^2} + 4x + 3}}\)
   
• Term 3: \(\dfrac{1}{{0,5 \cdot {{\left( {x + 2} \right)}^2} - 0,5}}\)

2. Teilaufgabe b.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G_f ist.

3. Teilaufgabe b.2) 1 BE - Bearbeitungszeit:2:20

Geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G_f an.

4. Teilaufgabe b.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G_f mit der y-Achse.

Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion 

\(p:x \mapsto 0,5 \cdot {\left( {x + 2} \right)^2} - 0,5\),  die die Nullstellen x=- 3 und x=-1 hat.

Für \(x \in {D_f}{\text{ gilt }}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{p\left( x \right)}}\)

Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f‘ und p‘ die Beziehung

\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{p'\left( x \right)}}{{{{\left( {p\left( x \right)} \right)}^2}}}{\text{ für x}} \in {{\text{D}}_f}\)

5. Teilaufgabe c.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f‘ ist.

6. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 3;2} \right[\) streng monoton steigend ist

7. Teilaufgabe c.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f‘(x) und p‘(x), dass G_f in \(\left] { - 2; - 1} \right[\) streng monoton fallend ist.

8. Teilaufgabe c.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie Lage des Extrempunkts von G_f an.

Geben Sie Art des Extrempunkts von G_f an.

9. Teilaufgabe d.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Berechnen Sie f (-5) und f (-1,5)

10. Teilaufgabe d.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Skizzieren Sie G_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.

Kurvendiskussion

Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)

• 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• 2. Teilaufgabe: Polstellen
• 3. Teilaufgabe: Lücken
• 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
• 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
• 6. Teilaufgabe: Symmetrien
• 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
• 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
• 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
• 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
• 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
• 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
• 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
• 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
• 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
• 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250

Teil a

Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich für die Funktion h. [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn. [1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Flussläufe und Pegelstände - Aufgabe A_266

Teil a

Während eines Hochwassers wurde über den Zeitraum von einer Woche der Pegelstand eines Flusses ermittelt. Den Messergebnissen zufolge kann der zeitliche Verlauf des Pegelstands näherungsweise durch die Funktion p beschrieben werden:
\(p\left( t \right) = - 3,5 \cdot {10^{ - 6}} \cdot {t^3} + 6,3 \cdot {10^{ - 4}} \cdot {t^2} - 0,011 \cdot t + 7,661\) mit \(0 \le t \le 168\)

wobei

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Abweichung des höchsten Pegelstands während des Hochwassers vom „üblichen“ Pegelstand von 2,5 m.
[1 Punkt]

Zur Zeit t₁ gilt:
\(p''\left( {{t_1}} \right) = 0\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Bedeutung von t₁ im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

AHS - 1_150 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Polynomfunktion – Funktionsuntersuchung
Gegeben ist eine Polynomfunktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\) mit den Parametern \(a \ne 0;\,\,\,\,\,\,\,a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\ {\Bbb R}}\) . Die Funktion f hat einen Hochpunkt im Punkt H = (2|2) und einen Wendepunkt an der Stelle x₂ = –1. An der Stelle x₃ = 3 hat die Steigung der Funktion den Wert –9.

• Aussage 1: \(f'\left( 3 \right) = - 9\)
• Aussage 2: \(f\left( 2 \right) = 0\)
• Aussage 3: \(f''\left( { - 1} \right) = 0\)
• Aussage 4: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
• Aussage 5: \(f''\left( 2 \right) = 0\)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften einer Polynomfunktion dritten Grades

Gegeben ist eine Polynomfunktion f dritten Grades. An den beiden Stellen x₁ und x₂ mit x₁ < x₂ gelten folgende Bedingungen:
\(\eqalign{
& f'\left( {{x_1}} \right){\text{ = 0 und }}f''\left( {{x_1}} \right) < 0 \cr
& f'\left( {{x_2}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_2}} \right) > 0 \cr} \)

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die für die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.

• Aussage 1: \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
• Aussage 2: Es gibt eine weitere Stelle x₃ mit \(f'\left( {{x_3}} \right) = 0\)
• Aussage 3: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x₃ mit \(f\left( {{x_3}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)
• Aussage 4: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x₃ mit \(f''\left( {{x_3}} \right) = 0\)
• Aussage 5: Im Intervall \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right]\) gibt es eine Stelle x₃ mit \(f'\left( {{x_3}} \right) > 0\)

[0 / 1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 17. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionseigenschaften

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der 1. Ableitungsfunktion f′ einer Polynomfunktion f dargestellt.

Bild

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, die auf die Funktion f auf jeden Fall zutreffen.

• Aussage 1: Im Intervall [–3; 3] ist die Funktion f streng monoton steigend.
• Aussage 2: Der Graph von f ist im Intervall [–3; 3] symmetrisch zur senkrechten Achse.
• Aussage 3: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine Wendestelle.
• Aussage 4: Im Intervall [–3; 3] sind alle Funktionswerte von f positiv.
• Aussage 5: Die Funktion f hat im Intervall [–3; 3] mindestens eine lokale Extremstelle.

[2 aus 5]

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vitamin C - Aufgabe A_281

Teil c

Nach der Einnahme einer Vitamin-C-Tablette steigt die Vitamin-C-Konzentration im Blut zunächst an und sinkt danach wieder ab. Die Funktion c beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Vitamin-C-Konzentration im Blut einer bestimmten Person.
\(c\left( t \right) = 24 \cdot \left( {{e^{ - 0,0195 \cdot t}} - {e^{ - 1,3 \cdot t}}} \right) + 3\)

• t ... Zeit seit der Einnahme der Vitamin-C-Tablette in h
• c(t) ... Vitamin-C-Konzentration im Blut zur Zeit t in Mikrogramm pro Milliliter (μg/ml)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie, dass die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut der Person gerundet \(25,18\,\,\mu g/ml\) beträgt.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die maximale Vitamin-C-Konzentration in mg/L angibt.

[1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: 0,02518 mg/L
• Aussage 2: 25,18 mg/L
• Aussage 3: 25 180 mg/L
• Aussage 4: 0,00002518 mg/L
• Aussage 5: 25 180 000 mg/L

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Ganzkörperhyperthermie - Aufgabe A_158

Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber).

Teil b

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Dokumentieren Sie, wie die maximale Körpertemperatur im angegebenen Zeitintervall mithilfe der Differenzialrechnung berechnet werden kann.

Bild

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Begründen Sie, warum der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades höchstens 2 Extrempunkte haben kann.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Limnologie - Aufgabe B_478

Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Temperatur oder Dichte.

Teil c

Die Dichte von Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur kann unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die Funktion ϱ beschrieben werden:
\(\rho \left( T \right) = a - b \cdot {\left( {T - 4} \right)^2}{\text{ mit }}0 < \rho \leqslant 10\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Funktionsgleichung die Koordinaten des Scheitelpunkts S von ϱ ab.

S = ( | )

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie mathematisch, dass der Scheitelpunkt ein Hochpunkt der Funktion ϱ ist.

[1 Punkt]

Es gilt: a = 999,972 und b = 0,007

Die Gleichung einer Tangente an den Graphen der Funktion ϱ lautet:

\(f\left( T \right) = 0,028 \cdot T + d\)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Parameter d.

[1 Punkt]

Jemand verwendet zur Berechnung der Dichte von Wasser bei 10 °C die obige Funktion ϱ mit den Parametern a = 999,972 und b = 0,007. Die Dichte von Wasser bei 10 °C beträgt jedoch laut einer Tabelle 999,700 kg/m³.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Betrag des absoluten Fehlers bei Verwendung der Funktion ϱ anstelle des Tabellenwerts.

[1 Punkt]