Kerr Newmann Lösung der einsteinschen Feldgleichung

Einsteinsche Feldgleichung der ART

Die Einsteinschen Feldgleichungen, auch Gravitationsgleichungen der ART stellen einen Zusammenhang zwischen dem Einstein-Tensor G mit den Krümmungseigenschaften der Raumzeit und dem Energie-Impuls-Tensor T her. Mit anderen Worten handelt es sich um die gegenseitige Beeinflussung von der Energie-Impulsverteilung im Universum mit der Geometrie der Raumzeit.

Einsteinsche Feldgleichung ohne kosmologischer Konstante:

\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)

Einsteinsche Feldgleichung mit kosmologischer Konstante:

\({G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} = {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }}\)

T enthält die lokale Massendichte bzw. über E=mc² die Energiedichte und charakterisiert damit die gravitationsrelevanten Eigenschaften der Materie. Zur Aufrechterhaltung von Energie- und Impulserhaltungsatz muss \(\nabla {T_{\mu \nu }} = 0\) die Divergenz vom Energie-Impulstensor bei festen RaumZeit-Koordianten null sein.

Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Raumzeit, die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Masse, die die Krümmung der Raumzeit bedingt. Eine triviale Schlussfolgerung: Wo es weder Masse noch Energie (gemäß E=mc²) gibt, dort gibt es auch keinen Raum und keine Zeit! D.h. für den Urknall, dass sich nicht die Materie in ein leeres Universum hinein ausbreitet, sondern dass sich das Universum selbst, und zwar nur dort wo es Materie gibt, ausdehnt.

Die einfache Form obiger Gleichung täuscht! Komplett ausformuliert, besteht sie aus mehreren nichtlinearen, gekoppelten, partiellen Differentialgleichungen, für die es keinen vollständigen Satz an Lösungen gibt. Immer wieder werden daher neue Lösungen für Spezialfälle gefunden.

Lösungen der Einsteinschen Feldgleichung

Alle vier hier beschriebenen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen beschreiben „Schwarze Löcher“ und sie vereinfachen die ursprüngliche Tensorgleichung:

• Die „Schwarzschild Lösung“ (1916) geht von einem ungeladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Schwarzschild-Loch hat nur eine einzige Eigenschaft: Masse
• Die „Reissner-Nordstrom-Lösung“ (1918) geht von einem elektrisch geladenen, nicht rotierenden, punktförmigen schwarzen Loch aus; Ein Reissner-Nordstrom-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Ladung
• Die „Kerr-Lösung“ (1963) lässt bereits eine Rotation des nicht geladenen, ringförmigen schwarzen Lochs zu; Ein Kerr-Loch hat 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls
• Die „Kerr-Newmann-Lösung“ (1965) ist die allgemeinste Lösung, lässt sie doch elektrische Ladung und Rotation zu; Ein Kerr-Newmann-Loch hat 3 Eigenschaften: Masse, Ladung und Drehimpuls

In der Praxis der Astrophysik spielt die Ladung aber keine Rolle, da Ausgleichsströme im Plasma diese Ladungen neutralisieren würden. Es bleiben also die Schwarzschild- und Kerr-Löcher über, und die besitzen maximal 2 Eigenschaften: Masse und Drehimpuls.

Linearisiert man die Feldgleichungen, so erhält man die einfacheren Wellengleichungen.

Kosmologische Konstante \(\Lambda \)

Einstein hatte die Vorstellung eines statischen Universums, welches sich nicht ausdehnt. Um das in seiner Feldgleichung mathematisch zu erzwingen, führte er den „Lambda-Term“ also die kosmologische Konstante ein. Die kosmologische Konstante steht dabei für eine Art von Vakuumenergie. Die kosmologische Konstante hat heute die Bedeutung einer Energiedichte vom Vakuum.

\(\eqalign{ & {G_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr & {R_{\mu \nu }} - \dfrac{1}{2} \cdot R \cdot {g_{\mu \nu }} = \dfrac{{8\pi G}}{{{c^4}}} \cdot {T_{\mu \nu }} + \Lambda {g_{\mu \nu }} \cr} \)

• Eine negative kosmologische Konstante / Lambda verstärkt die Gravitation, darauf deutet derzeit nichts hin, im Gegenteil:
• ein positives Lambda wirkt in Form einer „Anti-Gravitation“ also so, wie die dunkle Energie. Mit einem kleinen positiven Wert erhält man ein exponentiell expandierendes Universum. Man spricht vom Einsten-de Sitter Model.

Die Hubble Konstante H₀

Nach der Entdeckung des Hubble-Effekts (1929), demzufolge sich das Universum gemäß der Hubble Konstante um 67..75 km pro Sekunde pro Megaparsec (67..75 km/s pro 3,3 Millionen Lichtjahre Entfernung) ausdehnt, verwarf Einstein die kosmologische Konstante und bezeichnete sie als seine „größte Eselei“. 

1985 haben Messungen der kosmischen Expansion mittels Ia-Supanovae („Standardkerzen“) zudem gezeigt, dass sich die Hubblesche Ausdehnung des Universums nicht wie erwartet unter der Wirkung der Gravitation verlangsamt, sonder im Gegenteil, beschleunigt. Dafür macht man die sogenannte dunkle Energie verantwortlich, die entgegengesetzt zur Schwerkraft wirkt und die Massen im Universum immer stärker auseinandertreibt.

Eine exakte Bestimmung der Hubble Konstanten wäre von entscheidender Bedeutung für das Ausmaß der Beschleunigung der kosmischen Expansion. 

Friedmann Gleichungen

Die beiden Friedmann Gleichungen resultieren aus eine Vereinfachung der Tensorgleichung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie unter der Annahme eines homogenen (gleichmäßig aufgebauten) und isotropen (richtungsunabhängigen) Universums. Ein isotropes Universum hat in alle Richtungen die gleichen Eigenschaften. Die Materie, die in den Planeten, Sternen und Galaxien punktuell enthalten ist und deren Zwischenräume die von Vakuum erfüllt sind, denkt man sich als gleichmäßig über das Universum verschmiert. Die Friedmann Gleichungen beschreiben die Entwicklung des Universums mit fortschreitender Zeit.

1. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:

Die erste Friedmann-Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der Expansionsrate des Universums, der Energiedichte im Universum, der Krümmung des Raums und eines Skalenfaktors. Hinzu kommt der Druck zufolge der kosmologischen Konstante.

\(\eqalign{ & {H^2}\left( t \right) = {\left( {\dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi G}}{3} \cdot \rho - \dfrac{{k{c^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & mit\,\,...\,\,\Omega - 1 = \dfrac{k}{{{H^2} \cdot {a^2}}} \cr} \)

\(\Omega = \dfrac{{8\pi G\rho }}{{3{H^2}}}\)

2. Friedmann Gleichung mit kosmologischer Konstante:

Die zweite Friedmann-Gleichung beschreibt, wie die Beschleunigung der Expansion des Universums von der Energiedichte und dem Druck im Inneren des Universums abhängt. Hinzu kommt der Druck zufolge der dunklen Energie repräsentiert durch die kosmologischen Konstante.

\(\eqalign{ & \mathop H\limits^ \cdot + {H^2} = \dfrac{{\mathop a\limits^{ \cdot \cdot } }}{a} = - \dfrac{{4\pi G}}{{3{c^2}}}\left( {\rho {c^2} + 3p} \right) + \dfrac{{\Lambda {c^2}}}{3} \cr & H\left( t \right) = \dfrac{{\mathop a\limits^ \cdot }}{a} \cr}\)

Die Friedmann Gleichungen sind Differentialgleichungen - da sie den Skalenfaktor a sowie dessen 1. und 2. zeitliche Ableitung enthalten - bei denen man folgende 3 Fälle an Hand des Krümmungsparamters k unterscheiden kann:

• k = -1: offenes Universum: Das Universum expandiert ohne Schranke, da die Gravitation nicht in der Lage ist die Expansion zu bremsen. Die Sterne erkalten und die Galaxien, ja sogar die Schwarzen Löcher, verdampfen. Das Universum erreicht den absoluten Nullpunkt der Temperaturskala und stirbt den Kältetod.
• k = 0: flaches Universum: Das Universum dehnt sich asymptotisch bis zu einer endlichen Größe aus, D.h. es existiert im Universum genau so viel Masse, dass deren Gravitation die Expansion bei einer bestimmten Ausdehnung abstoppt. Das Universum stirbt den Kältetod.
• k = +1: geschlossenes Universum: Das Universum enthält so viel Masse, dass unter der Wirkung der Gravitation die Ausdehnung zum Stillstand kommt und danach kollabiert das Universum im „Big Crunch“

Zusammenhang Krümmungsparameter k und kosmologische Konstante \(\Lambda\)

Der Krümmungsparameter k und die kosmologische Konstante Lambda machen einerseits Aussagen über die Krümmung des Universums und andererseits über die Dynamik der Ausbreitung des Universums. Sie sind abhängig von der Dichte an Materie und von der Dichte der dunklen Energie im Universum. Sie bestimmen ob sich das Universum in Richtung Expansion, Stagnation oder Kontraktion entwickelt. 

Zusammenhang zwischen dunkler Energie bzw. zugehöriger kosmologischer Konstante und Vakuumenergiedichte

Die dunkle Energie ist ein Begriff der Gravitationstheorie, während die Vakuumenergiedichte ein Ausdruck der Quantenfeldtheorie ist, wodurch die beiden Theorien in einen Zusammenhang gesetzt werden können. Die dunkle Energie kann dann nämlich als eine Art der Vakuumenergiedichte interpretiert werden.

• Die dunkle Energie wird postuliert um die messbare beschleunigte Expansion des Universums zufolge ihrer negativen Gravitationswirkung zu erklären. Sie wird dort durch die kosmologische Konstante \(\Lambda\) repräsentiert und findet sich sowohl in der einsteinschen Feldgleichung der ART als auch in den beiden Friedmann-Gleichungen wieder.
• Die Vakuumenergiedichte ist jene - von Null ungleiche - Energiemenge, die dem leere Raum zugeschrieben wird. Sie ist die niedrigste Energiedichte eines quantenmechanischen Feldes. Sie spielt bei der Theorie des inflationären Universums zusammen mit der Energie des Higgsfeldes eine Rolle. Sie dominiert den Zeitraum von 10^-36 s bis 10^-34 s nach dem Urknall, während der sich das Universum exponentiell um das ca. 10²⁶ -fache ausgedehnt haben könnte. Nach diesem Zeitraum dehnt sich das nunmehr strahlungsdominierte Universum zufolge der Friedmann-Gleichungen aus.