Kettenregel

Ableitungsregeln

Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.

Konstanten- oder Faktorregel

Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)

Summen- bzw. Differenzenregel

Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)

Produktregel beim Differenzieren

Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind

\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)

Quotientenregel beim Differenzieren

Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.

Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"

\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Reziprokenregel

Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f²(x) zu bilden ist.

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)

Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.

\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)

Kettenregel beim Differenzieren

Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)

Allgemeine Kettenregel

Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)