Mathematik Zentralmatura BHS - Jänner 2022 - kostenlos vorgerechnet

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zirbenholzbetten - Aufgabe A_309

Ein Unternehmen stellt Betten aus Zirbenholz mit einem Kopfteil her.

Teil a

Die nachstehende Abbildung zeigt ein Modell des Kopfteils eines Bettes.

Abbildung fehlt

Die obere Begrenzungslinie kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden.

\(f\left( x \right) = 0,24 \cdot {x^4} - 0,8 \cdot {x^2} + 0,66{\text{ mit }} - 1 \leqslant x \leqslant 1\)

x, f(x) ... Koordinaten in m

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Inhalt der grau markierten Flache.

[0 / 1 P.]

Das Kopfteil wird aus einer 50 mm dicken Platte aus Zirbenholz angefertigt. Die Dichte des verwendeten Holzes beträgt ϱ = 400 kg/m³. Die Masse m ist das Produkt aus Dichte ϱ und Volumen V, also m = ϱ · V.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Masse m des Kopfteils. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.

[0 / 1 P.]

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Zirbenholzbetten - Aufgabe A_309

Ein Unternehmen stellt Betten aus Zirbenholz mit einem Kopfteil her.

Teil b

Zur Modellierung der oberen Begrenzungslinie eines anderen Kopfteils wird eine Funktion g verwendet.

\(g\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c\)

x, g(x) ... Koordinaten in m

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Argumentieren Sie anhand der Funktionsgleichung, dass gilt: g(x) = g(–x).

[0 / 1 P.]

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Zirbenholzbetten - Aufgabe A_309

Ein Unternehmen stellt Betten aus Zirbenholz mit einem Kopfteil her.

Teil c

In der Mitte des Kopfteils wird ein Stück in Form eines Herzens ausgefräst. Eine Hälfte der Begrenzungslinie des Herzens wird durch eine Kurve beschrieben, die aus dem Kreis bogen k und der daran anschließenden Strecke s besteht (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie, warum k nicht als Graph einer Funktion mit dem Definitionsbereich [0; 2 ∙ r] aufgefasst werden kann.

[0 / 1 P.]

Die Fläche der halben Herzform kann in einen Kreissektor und ein Viereck unterteilt werden. Für den Flächeninhalt dieses Kreissektors gilt:

\({A_1} = \pi \cdot {r^2} \cdot \dfrac{\beta }{{360^\circ }}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel β.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie diejenige Formel an, mit der man den Flächeninhalt A₂ des grau markierten Vierecks berechnen kann.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]

• Formel 1: \({A_2} = {r^2} \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
• Formel 2: \({A_2} = {r^2} \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
• Formel 3: \({A_2} = \dfrac{{{r^2}}}{{\tan \left( \alpha \right)}}\)
• Formel 4: \({A_2} = {r^2} \cdot \sin \left( \alpha \right)\)
• Formel 5: \({A_2} = \dfrac{{{r^2}}}{{\sin \left( \alpha \right)}}\)

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Erkältung – Aufgabe  A_310

Teil a

Die zeitliche Entwicklung der Gesamtanzahl der Personen in einer Stadt, die sich seit Beginn eines bestimmten Jahres eine Erkältung zugezogen haben, kann näherungsweise durch die Funktion N beschrieben werden.

\(N\left( t \right) = - 72,5 \cdot {t^3} + 1378 \cdot {t^2} + 4646 \cdot t{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 13\)

t … Zeit seit Beginn des Jahres in Wochen

N(t) … Gesamtanzahl der Personen, die sich von Beginn des Jahres bis zur Zeit t eine Erkältung zugezogen haben

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion N im Intervall [0; 13] ein.

[0 / 1 P.]

Abbildung fehlt

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Erkältung – Aufgabe  A_310

Teil b

20 % der erkälteten Personen haben während der Erkältung auch Fieber.

• Ereignis 1: In einer Zufallsstichprobe von 10 erkalteten Personen hat mindestens 1 Person auch Fieber
• Ereignis 2: In einer Zufallsstichprobe von 10 erkalteten Personen hat genau 1 Person auch Fieber.

• Wahrscheinlichkeit A: \(0,2 \cdot {0,8^9}\)
• Wahrscheinlichkeit B: \(10 \cdot 0,2 \cdot {0,8^9}\)
• Wahrscheinlichkeit C: \(1 - {0,2^{10}}\)
• Wahrscheinlichkeit D: \(1 - {0,8^{10}}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

 Ordnen Sie den beiden Ereignissen jeweils die zutreffende Wahrscheinlichkeit aus A bis D zu.

In einer bestimmten Stadt sind 700 Personen erkältet.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl derjenigen Personen, die während der Erkältung auch Fieber haben.
[0 / 1 P.]

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Erkältung – Aufgabe  A_310

Teil c

Im Rahmen einer Studie wurde die Körpertemperatur von erkälteten Personen am Morgen gemessen und dokumentiert. In der nachstehenden Abbildung ist die Verteilung der Körpertemperaturen für jeden der ersten 10 Tage nach dem Auftreten der ersten Symptome als Boxplot dargestellt.

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung ab, an wie vielen Tagen bei mindestens der Hälfte der erkälteten Personen eine Körpertemperatur von mehr als 37 °C gemessen wurde.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Begründen Sie anhand der obigen Abbildung, warum die folgende Aussage richtig ist: „Bei zumindest einer erkälteten Person wurde 9 Tage nach dem Auftreten der ersten Symptome eine höhere Körpertemperatur gemessen als 3 Tage nach dem Auftreten der ersten Symptome.“

[0 / 1 P.]

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Trinkwasser – Aufgabe  A_311

Teil a

Ein Teil des Wiener Trinkwassers wird über die II. Wiener Hochquellenleitung aus dem Hochschwabgebiet nach Wien geleitet. Das Gefälle dieser Leitung beträgt durchschnittlich rund 2,1 ‰. Eine der nachstehenden Abbildungen veranschaulicht ein Gefalle von 2,1 ‰.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die zutreffende Abbildung an.
[1 aus 5]
[0 / 1 P.]

Durch die II. Wiener Hochquellenleitung fließen pro Tag durchschnittlich 210 000 m³ Wasser.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, wie viele Kubikmeter Wasser durchschnittlich pro Sekunde durch die II. Wiener Hochquellenleitung fließen.
[0 / 1 P.]

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Trinkwasser – Aufgabe  A_311

Teil b

Der pH-Wert des Trinkwassers wird regelmäßig überprüft. Der pH-Wert ist folgendermaßen definiert:

\(pH = - {\log _{10}}\left( a \right)\)

Der Ausdruck \( - {\log _{10}}\left( a \right)\)  soll umgeformt werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

\( - {\log _{10}}\left( a \right) = {\log _{10}}\left( {{a^{??}}} \right) = {\log _{10}}\left( {\frac{1}{{??}}} \right)\)

Vervollständigen Sie die nachstehende Umformung durch Eintragen in die beiden Kästchen.
[0 / 1 P.]

Ein pH-Wert von 6,5 entspricht einer Wasserstoffionen-Aktivität von 10^–6,5. Die Zahl 10^–6,5 kann auch in der Form \(\sqrt {{{10}^z}} \)   geschrieben werden, wobei z eine ganze Zahl ist.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie diese Zahl z an.
z =
[0 / 1 P.]

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Trinkwasser – Aufgabe  A_311

Teil c

In der nachstehenden Abbildung ist der Querschnitt eines Trinkbrunnens mit Wasserbecken schematisch dargestellt.

Illustration fehlt

Der Wasserstrahl kann vom Austritt im Punkt P bis zum Auftreffen auf das Wasserbecken näherungsweise durch den Graphen einer quadratischen Funktion f beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Skizzieren Sie den Graphen einer solchen Funktion f vom Austritt bis zum Auftreffen auf das Wasserbecken, wenn gilt: f′(10) = 0 und f″(10) < 0.

[0 / 1 P.]

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Infusion – Aufgabe  A_312

Wenn eine Medikamentenlösung als Infusion verabreicht wird, gelangt der Wirkstoff meist über einen Infusionsschlauch und eine Nadel in die Vene.

Teil a

Von einem Medikament sollen 3 mg Wirkstoff pro kg Körpermasse verabreicht werden. Für Herrn Wagner mit der Körpermasse m werden 60 ml der Medikamentenlosung mit einer Wirkstoffkonzentration von 4 mg/ml vorbereitet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Körpermasse m von Herrn Wagner.
[0 / 1 P.]

Die 60 ml Medikamentenlosung (Wirkstoffkonzentration 4 mg/ml) werden mit 450 ml Flüssigkeit (Wirkstoffkonzentration 0 mg/ml) verdünnt. Die Wirkstoffkonzentration der verdünnten Medikamentenlosung muss niedriger als 0,5 mg/ml sein.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Forderung erfüllt wird.
[0 / 1 P.]

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Infusion – Aufgabe  A_312

Wenn eine Medikamentenlösung als Infusion verabreicht wird, gelangt der Wirkstoff meist über einen Infusionsschlauch und eine Nadel in die Vene.

Teil b

Modellhaft betrachtet, hat das Innere eines Infusionsschlauchs die Form eines Drehzylinders. Ein 200 cm langer Schlauch hat einen Innendurchmesser von 3 mm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie das Innenvolumen des Schlauchs. Geben Sie das Ergebnis in Millilitern an.
[0 / 1 P.]

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Infusion – Aufgabe  A_312

Wenn eine Medikamentenlösung als Infusion verabreicht wird, gelangt der Wirkstoff meist über einen Infusionsschlauch und eine Nadel in die Vene.

Teil c

Die Durchflussrate einer Infusion gibt dasjenige Flüssigkeitsvolumen an, das pro Zeiteinheit aus dem Behälter fließt. Eine Infusion wird zu Beginn auf eine konstante Durchflussrate eingestellt. Das im Behälter verbleibende Flüssigkeitsvolumen V(t) wird in Abhängigkeit von der Zeit t durch den in der nachstehenden Abbildung dargestellten Graphen beschrieben.

Illustration fehlt

Ab dem Zeitpunkt t₁ ist die Infusion auf die doppelte Durchflussrate eingestellt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen für t > t₁ ein.
[0 / 1 P.]