Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2019 - kostenlos vorgerechnet

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280

Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.

Teil a

Die folgende Tabelle gibt die nach Österreich importierten Rohölmengen in den Jahren 2006 bis 2014 an:

Quelle: https://www.wko.at/branchen/industrie/mineraloelindustrie/jahresberichte.html
[22.11.2018]

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung der importierten Rohölmengen für diesen Zeitraum in Millionen Tonnen.

[1 Punkt]

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Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280

Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.

Teil b

Modellhaft betrachtet ist die Pipeline ein Drehzylinder mit dem Durchmesser d und der Höhe l. Der Innendurchmesser der Pipeline betragt d = 457,2 mm. Die Lange der Pipeline betragt rund l = 416 km. In der Erdölindustrie wird für das Volumen von Rohöl häufig die Einheit Barrel verwendet. Es gilt: 1 Barrel ≈ 0,159 m³

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie, wie viele Barrel Rohöl die vollständig befüllte Pipeline fasst.

[2 Punkte]

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Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280

Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.

Teil c

Das Gesamtvolumen an Rohöl, das im Zeitintervall [0; t] einen Kontrollpunkt in der Pipeline passiert, kann näherungsweise durch die Funktion R in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden. Der Graph der Funktion R ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen eine Gleichung der Funktion R.

[1 Punkt]

Die Durchflussrate D(t) zum Zeitpunkt t ist die momentane Änderungsrate der Funktion R.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Durchflussrate ein.

[1 Punkt]

Bild

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Vitamin C - Aufgabe A_281

Teil a

Der Vitamin-C-Gehalt eines Apfels nimmt nach der Ernte exponentiell ab. Alle 4 Wochen nimmt der Vitamin-C-Gehalt um 20 % bezogen auf den Wert zu Beginn dieser 4 Wochen ab. Ein bestimmter Apfel hat bei der Ernte einen Vitamin-C-Gehalt von 18 mg. Der Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels in Milligramm soll in Abhängigkeit von der Zeit t in Wochen beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Funktion. Wählen Sie t = 0 für den Zeitpunkt der Ernte.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Vitamin-C-Gehalt dieses Apfels 36 Wochen nach der Ernte.

[1 Punkt]

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Vitamin C - Aufgabe A_281

Teil b

Der Vitamin-C-Gehalt von Tabletten der Sorte Zitruspower ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 100 mg und der Standardabweichung σ = 5 mg.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Vitamin-C-Gehalt einer zufällig ausgewählten Tablette zwischen 92 mg und 110 mg liegt.
[1 Punkt]

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Vitamin C - Aufgabe A_281

Teil c

Nach der Einnahme einer Vitamin-C-Tablette steigt die Vitamin-C-Konzentration im Blut zunächst an und sinkt danach wieder ab. Die Funktion c beschreibt näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Vitamin-C-Konzentration im Blut einer bestimmten Person.
\(c\left( t \right) = 24 \cdot \left( {{e^{ - 0,0195 \cdot t}} - {e^{ - 1,3 \cdot t}}} \right) + 3\)

• t ... Zeit seit der Einnahme der Vitamin-C-Tablette in h
• c(t) ... Vitamin-C-Konzentration im Blut zur Zeit t in Mikrogramm pro Milliliter (μg/ml)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie, dass die maximale Vitamin-C-Konzentration im Blut der Person gerundet \(25,18\,\,\mu g/ml\) beträgt.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der die maximale Vitamin-C-Konzentration in mg/L angibt.

[1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: 0,02518 mg/L
• Aussage 2: 25,18 mg/L
• Aussage 3: 25 180 mg/L
• Aussage 4: 0,00002518 mg/L
• Aussage 5: 25 180 000 mg/L

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Glücksspiel - Aufgabe A_282

Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.

Teil a

Im ersten Gefäß befinden sich insgesamt a Kugeln. 7 dieser Kugeln sind rot, die anderen Kugeln sind weiß. Es wird 1 Kugel aus diesem Gefäß gezogen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von a einen Ausdruck zur Berechnung der folgenden Wahrscheinlichkeit: P(„die gezogene Kugel ist weiß“) =

[1 Punkt]

Aus diesem Gefäß mit a Kugeln zieht Elena 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück. Dann zieht sie wieder 1 Kugel.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt.

[1 Punkt]

Bild

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Die Wahrscheinlichkeit, dass Elena 2-mal eine rote Kugel zieht, beträgt 12,25 %. Berechnen Sie die Anzahl a.

[1 Punkt]

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Glücksspiel - Aufgabe A_282

Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.

Teil b

Im zweiten Gefäß befinden sich 6 schwarze und 2 blaue Kugeln. Aus diesem Gefäß zieht Susi 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück. Das macht sie insgesamt 5-mal.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Susi dabei genau 3-mal eine schwarze Kugel zieht.

[1 Punkt]

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Glücksspiel - Aufgabe A_282

Bei einem Glücksspiel werden aus verschiedenen Gefäßen Kugeln zufällig gezogen.

Teil c

Im dritten Gefäß befinden sich 12 Kugeln. 7 dieser Kugeln sind grün, die anderen Kugeln sind gelb. Aus diesem Gefäß zieht Moritz 1 Kugel und legt diese Kugel anschließend in das Gefäß zurück. Das macht er insgesamt 3-mal.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext] [1 Punkt]

• Aussage 1: alle 3 Kugeln sind grün
• Aussage 2: mindestens 1 Kugel grün ist
• Aussage 3: höchstens 1 Kugel grün ist

• Ausdruck 1: \(1 - {\left( {\dfrac{5}{{12}}} \right)^3}\)
   
• Ausdruck 2: \(1 - {\left( {\dfrac{7}{{12}}} \right)^3}\)
   
• Ausdruck 3: \({\left( {\dfrac{5}{{12}}} \right)^3}\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ___1___ , ist durch den Ausdruck ___2___gegeben.

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Bahnverkehr in Österreich - Aufgabe A_283

Teil a

Eine Bahnfahrt von Wien nach Graz dauert 2 Stunden und 35 Minuten. Die mittlere Reisegeschwindigkeit beträgt dabei rund 81,83 km/h. Im Jahr 2026 soll der Semmering-Basistunnel fertiggestellt werden. Dadurch wird sich die Fahrtstrecke um 13,7 Kilometer und die Fahrtdauer um 50 Minuten verkürzen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie die mittlere Reisegeschwindigkeit zwischen Wien und Graz für die verkürzte Fahrt.
[2 Punkte]

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Bahnverkehr in Österreich - Aufgabe A_283

Teil b

Die Fahrtstrecke im Semmering-Basistunnel wird 27,3 Kilometer lang sein und eine (als konstant angenommene) Steigung von 0,84 % haben. In der folgenden Berechnung des Höhenunterschieds Δh in Metern auf dieser Fahrtstrecke ist genau ein Fehler passiert:

Steigungswinkel:
\(\eqalign{ & \alpha = \arctan \left( {0,0084} \right) = 0,48127^\circ \cr & \Delta h = \dfrac{{27300{\text{ m}}}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = 3\,\,250\,\,114,6{\text{ m}} \cr} \)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Stellen Sie die Berechnung und das Ergebnis richtig.

[1 Punkt]

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Bahnverkehr in Österreich - Aufgabe A_283

Teil c

Im nachstehenden Diagramm sind die Fahrgastzahlen der Österreichischen Bundesbahnen für die Jahre 2010 bis 2014 dargestellt.

Bild

Datenquelle: Agentur für Passagier- und Fahrgastrechte (Hrsg.): Fahrgastrechte-Statistik Bahn 2014, 2016, S. 4.
https://www.apf.gv.at/files/1-apf-Homepage/1g-Publikationen/Fahrgastrec… [22.11.2018].

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Spannweite der angegebenen Fahrgastzahlen in Millionen.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
\(\dfrac{{235,1 - 209,8}}{{209,8}} \approx 0,12\)

Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]