Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2021 - kostenlos vorgerechnet

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zirkus - Aufgabe A_298

Teil a

Eine bestimmte Zirkusvorstellung wurde von 65 Erwachsenen und 57 Kindern besucht. Diese bezahlten insgesamt Eintritt in Höhe von 1.179 Euro. Eine andere Zirkusvorstellung mit den gleichen Eintrittspreisen wurde von 82 Erwachsenen und 74 Kindern besucht. Diese bezahlten insgesamt Eintritt in Höhe von 1.502 Euro.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung des Eintrittspreises x für einen Erwachsenen und des Eintrittspreises y für ein Kind.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Eintrittspreise x und y.

[0 / 1 P.]

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Zirkus - Aufgabe A_298

Teil b

Eine Gruppe von n Personen bestellt Eintrittskarten für einen anderen Zirkus zu einem Eintrittspreis von p Euro pro Person. Bis zum Tag der Vorstellung hat sich die Gruppengröße jedoch um k Personen erhöht, und der Veranstalter gewährt deshalb allen eine Ermäßigung von 5 % auf den Eintrittspreis.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie den richtigen Ausdruck zur Berechnung des insgesamt bezahlten Eintritts an.

[1 aus 5]

[0 / 1 P.]

• Aussage 1: \(\dfrac{{\left( {n + k} \right) \cdot p}}{{0,95}}\)
• Aussage 2: \(\left( {n + k} \right) \cdot p \cdot 0,95\)
• Aussage 3: \(0,95 \cdot \left( {n + k \cdot p} \right)\)
• Aussage 4: \(0,05 \cdot \left( {n + k} \right) \cdot p\)
• Aussage 5: \(\left( {n \cdot k + p} \right) \cdot 0,95\)

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Zirkus - Aufgabe A_298

Teil c

Die Dauer der Zirkusvorstellungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 120 min und der Standardabweichung σ = 5 min.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung mindestens 118 min dauert.

[0 / 1 P.]

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Zirkusvorstellung höchstens 125 min dauert, soll mithilfe der zugehörigen Dichtefunktion f bzw. mithilfe der zugehörigen Verteilungsfunktion F dargestellt werden.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie diejenige Darstellung an, die nicht dieser Wahrscheinlichkeit entspricht.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]
 

• 1. Darstellung:
  \(0,5 + \int\limits_{120}^{125} {f\left( x \right)} \,\,dx\)
   
• 2. Darstellung:
  \(\int\limits_{ - \infty }^{125} {f\left( x \right)} \,\,dx\)
   
• 3. Darstellung:
  \(1 - F\left( {125} \right)\)
   
• 4. Darstellung:
  
  Bild

  
• 5. Darstellung:
  
  Bild

  

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Bäume - Aufgabe A_299

Teil a

Die Form des Blattes einer Buche laßt sich in einem Koordinatensystem näherungsweise durch die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und dem Graphen der Funktion g beschreiben.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = 0,0047 \cdot {x^3} - 0,2 \cdot {x^2} + 1,28 \cdot x{\text{ mit }}0 \leqslant x \leqslant {x_N} \cr & g\left( x \right) = - f\left( x \right) \cr} \)

In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der Funktion g im Intervall [0; x_N] ein.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Nullstelle x_N.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie gemäß diesem Modell den Flächeninhalt dieses Blattes.

[0 / 1 P.]

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Bäume - Aufgabe A_299

Teil b

Für eine Modellrechnung werden folgende Annahmen getroffen: An einem bestimmten Sommertag scheint die Sonne 14,5 Stunden lang. Ein Blatt eines Laubbaums produziert bei Sonnenschein pro Stunde 2,14 mg Sauerstoff. Ein Laubbaum hat 30 000 Blätter.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Sauerstoffmenge, die solch ein Laubbaum an diesem Sommertag produziert. Geben Sie das Ergebnis in Kilogramm an.

[0 / 1 P.]

Eine Person benötigt 0,816 kg Sauerstoff pro Tag. Man möchte wissen, wie viele solcher Laubbäume erforderlich sind, um den täglichen Sauerstoffbedarf von x Personen zu decken. Diese Anzahl an Laubbäumen wird mit n bezeichnet.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Stellen Sie mithilfe von x eine Formel zur Berechnung von n auf.

n =

[0 / 1 P.]

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Sonnenlicht und Vitamin D - Aufgabe A_300

Für die Bildung von Vitamin D in der Haut ist Sonnenlicht nötig. Ist der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen in der Atmosphäre zu klein, kann kein Vitamin D gebildet werden.

Teil a

Für jeden Tag eines Jahres wird der größte Einfallswinkel der Sonnenstrahlen betrachtet. Für eine bestimmte Stadt ist die zeitliche Entwicklung dieses Winkels als Graph der Funktion S dargestellt.

Bild

• t ... Zeit ab Jahresbeginn in Tagen
• S(t) ... größter Einfallswinkel der Sonnenstrahlen zur Zeit t in Grad (°)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie dasjenige Zeitintervall ab, in dem der größte Einfallswinkel der Sonnenstrahlen mindestens 45° beträgt.

\(\left[ {u;o} \right]\) in Tagen

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Es wird folgende Berechnung durchgeführt:
\(\dfrac{{S\left( {90} \right) - S\left( 0 \right)}}{{90}} \approx 0,3\)

Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.

[0 / 1 P.]

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Sonnenlicht und Vitamin D - Aufgabe A_300

Für die Bildung von Vitamin D in der Haut ist Sonnenlicht nötig. 

Teil b

Die Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut sinkt ab Herbstbeginn und lässt sich durch die Funktion N beschreiben.
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - 0,0173 \cdot t}}\)
 

• t ... Zeit ab Herbstbeginn in Tagen
• N(t) ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zur Zeit t in Nanogramm pro Milliliter (ng/ml)
• N₀ ... Vitamin-D-Konzentration in Claudias Blut zu Herbstbeginn in ng/ml

Der Körper ist ausreichend mit Vitamin D versorgt, wenn dessen Konzentration im Blut mindestens 30 ng/ml beträgt. Claudia mochte wissen, wie hoch die Vitamin-D-Konzentration im Blut zu Herbstbeginn mindestens sein muss, damit ihr Körper nach 60 Tagen noch ausreichend mit Vitamin D versorgt ist.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die dafür notwendige Vitamin-D-Konzentration zu Herbstbeginn.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Im obigen Modell beträgt die Halbwertszeit beim Abbau von Vitamin D in Claudias Körper 40 Tage.

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5]

[0 / 1 P.]

• Aussage 1: Nach 80 Tagen ist noch die Hälfte von N₀ vorhanden.
• Aussage 2: Nach 100 Tagen ist noch ein Drittel von N₀ vorhanden.
• Aussage 3: Nach 120 Tagen ist noch ein Viertel von N₀ vorhanden.
• Aussage 4: Nach 140 Tagen ist noch ein Achtel von N₀ vorhanden.
• Aussage 5: Nach 160 Tagen ist noch ein Sechzehntel von N₀ vorhanden.

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Steig- bzw. Sinkflug von Flugzeugen - Aufgabe A_301

Teil a

Ein Flugzeug beginnt zur Zeit t = 0 in einer Flughöhe von 12 000 m mit dem Sinkflug. Dabei nimmt die Flughöhe um 90 m/min ab. Die Flughöhe (in Metern) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) soll für den Sinkflug durch die lineare Funktion h₁ beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion h₁ auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Für ein zweites Flugzeug zeigt der nachstehend dargestellte Graph der Funktion h₂ den Zusammenhang zwischen der Flughöhe und der Zeit.

Bild

Überprüfen Sie nachweislich, ob das zweite Flugzeug schneller als das erste Flugzeug sinkt.
[0 / 1 P.]

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Steig- bzw. Sinkflug von Flugzeugen - Aufgabe A_301

Teil b

Die momentane Änderungsrate der Flughöhe (Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit) eines Flugzeugs auf einem Flug von München nach Frankfurt am Main kann näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

Datenquelle: https://de.flightaware.com/live/flight/DLH99/history/20180905/0710Z/EDD… [22.02.2019].

Zur Zeit t = 0 hebt das Flugzeug in München ab.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung diejenige Zeit t_m ab, zu der das Flugzeug seine maximale Flughöhe erreicht.
t_m=
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Es wird folgende Berechnung durchgeführt: 
\(\int\limits_{1550}^{1800} {f\left( t \right)} \,\,dt = - 1249m\)

Interpretieren Sie das Ergebnis dieser Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

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Darts - Aufgabe A_302

Teil a

Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

In der obigen Abbildung sind die Durchmesser zweier Kreise gekennzeichnet, die einen gemeinsamen Mittelpunkt haben. Der innere Kreis hat den Durchmesser d = 34 cm und der äußere Kreis den Durchmesser D = 45 cm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, wie viel Prozent die Fläche des inneren Kreises bezogen auf jene des äußeren Kreises ausmacht.

[0 / 1 P.]

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Darts - Aufgabe A_302

Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden

Teil b

Eine Dartscheibe mit dem Durchmesser D hangt senkrecht an einer Wand (siehe unten stehende nicht maßstabgetreue Abbildung in der Ansicht von der Seite).

Bild

Der Mittelpunkt der Dartscheibe und das Auge eines Spielers befinden sich in der gleichen Höhe über dem Boden.

• L ist der Abstand des Auges vom Mittelpunkt der Dartscheibe.
• α ist der Sehwinkel, unter dem der Spieler die Dartscheibe sieht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung die Größen L und α ein.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Stellen Sie mithilfe von D und L eine Formel zur Berechnung vom Winkel α auf.
α =
[0 / 1 P.]

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Darts - Aufgabe A_302

Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden

Teil c

Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Flugbahn eines Dartpfeils zwischen dem Abwurfpunkt A und dem Zielpunkt Z.

Bild

Die Flugbahn kann in diesem Modell durch den Graphen der quadratischen Funktion f beschrieben werden:
\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

• x ... horizontaler Abstand zur Dartscheibe in cm
• f(x) ... Höhe über dem Boden im Abstand x in cm

• Der Zielpunkt Z befindet sich in einer Hohe von 173 cm über dem Boden.
• Die größte Höhe von 182  cm über dem Boden erreicht der Pfeil an derjenigen Stelle, an der er vom Zielpunkt Z einen horizontalen Abstand von 75 cm hat.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.

[0 / 1 / 2 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c.
[0 / 1 P.]