Mathematik Zentralmatura BHS - September 2020 - kostenlos vorgerechnet

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Fahrscheine - Aufgabe A_133

Teil a

Im Jahr 2016 wurden von den Wiener Linien insgesamt 954,2 Millionen Fahrgäste transportiert. Bei 6,6 Millionen Fahrgästen wurden die Fahrscheine kontrolliert. 1,7 % dieser 6,6 Millionen Fahrgäste hatten keinen gültigen Fahrschein.

Das unten stehende Baumdiagramm soll den obigen Zusammenhang veranschaulichen.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie in diesem Baumdiagramm die fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fahrgast kontrolliert wird und keinen gültigen Fahrschein hat. [1 Punkt]

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Fahrscheine - Aufgabe A_133

Teil b

Erfahrungsgemäß wird man bei einer Fahrt mit einer bestimmten U-Bahn-Linie mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5 % kontrolliert. Eine Person fahrt 300-mal mit dieser U-Bahn-Linie.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils das entsprechende Ereignis aus A bis D zu. [2 zu 4] [1 Punkt]

• Wahrscheinlichkeit 1: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{298}} \cdot {0,025^2}\)
• Wahrscheinlichkeit 2: \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{299}} \cdot {0,025^1} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{300}} \cdot {0,025^0}\)

• Ereignis A: Die Person wird genau 2-mal kontrolliert.
• Ereignis B: Die Person wird genau 2-mal nicht kontrolliert.
• Ereignis C: Die Person wird mindestens 2-mal nicht kontrolliert.
• Ereignis D: Die Person wird mindestens 2-mal kontrolliert.

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Fahrscheine -. Aufgabe A_133

Teil c

Für ein öffentliches Verkehrsmittel wurden an einem Tag 150 000 Fahrscheine verkauft. Ein Vollpreisfahrschein kostet € 2,60, ein ermäßigter Fahrschein € 1,20. Durch den Verkauf von x Vollpreisfahrscheinen und y ermäßigten Fahrscheinen wurden an diesem Tag insgesamt € 337.500 eingenommen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von x und y.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie x und y.

[1 Punkt]

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Rund um die Heizung - Aufgabe A_140

Teil a

Die nachstehende Abbildung zeigt einen waagrecht gelagerten, zylinderförmigen Öltank in der Ansicht von vorne. Der Punkt M ist der Mittelpunkt des dargestellten Kreises mit dem Radius r .

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von r und α eine Formel zur Berechnung der Füllhöhe h.
h =
[1 Punkt]

Für das Volumen V eines 2 m langen Öltanks gilt:
\(V = {r^2} \cdot \pi \cdot 2\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen größer wäre, wenn der Radius um 20 % größer wäre.

[1 Punkt]

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Rund um die Heizung - Aufgabe A_140

Teil b

Eine Heizung beginnt um 15 Uhr, einen Wohnraum zu erwärmen. Ab diesem Zeitpunkt kann die Raumtemperatur durch die Funktion T beschrieben werden.
\(T\left( t \right) = 24 - 6 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)

• t … Heizdauer in h mit t = 0 für 15 Uhr
• T(t) ... Raumtemperatur nach der Heizdauer t in °C

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die Raumtemperatur um 15 Uhr.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Um 16 Uhr beträgt die Raumtemperatur 21 °C.

Berechnen Sie den Parameter λ.

[1 Punkt]

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Kühe auf der Weide - Aufgabe A_141

Teil a

In der nachstehenden Abbildung ist eine Weide modellhaft dargestellt. Die obere Begrenzungslinie kann mithilfe einer Funktion f beschrieben werden. Die anderen drei Begrenzungslinien verlaufen geradlinig.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von f eine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A dieser Weide.
A =
[1 Punkt]

Für die Funktion f gilt:
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + 52\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie unter Verwendung der in der obigen Abbildung angegebenen Koordinaten ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a und b.
[1 Punkt]

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Kühe auf der Weide - Aufgabe A_141

Teil b

Um zu ermitteln, wie viele Kühe auf einer Weide gehalten werden können, ist der Zuwachs der Trockenmasse von Gras auf dieser Weide von Bedeutung. Für eine bestimmte Weide wurde auf Basis mehrjähriger Messungen der nachstehend dargestellte Graph erstellt.

Bild

1 Hektar (ha) = 10 000 m²

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext]

[1 Punkt]

Im Zeitintervall [0; 240] liefert diese Weide rund ____1____  ____ 2_____  Trockenmasse von Gras.

• Lücke 1_1: 90
• Lücke 1_2: 900
• Lücke 1_3: 9000

• Lücke 2_1: \(\dfrac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\)
   
• Lücke 2_2: \(\dfrac{{{\rm{kg}}}}{{{\rm{ha}}}}\)
   
• Lücke 2_3: \(\dfrac{{\rm{t}}}{{{\rm{ha}}}}\)

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Kühe auf der Weide - Aufgabe A_141

Teil c

Die Körpergröße von Rindern wird durch die sogenannte Widerristhöhe beschrieben. Eine Landwirtin züchtet eine Rinderrasse, für die die Widerristhohe in Abhängigkeit vom Alter modellhaft durch die Funktion h beschrieben wird.
\(h\left( t \right) = 0,0024 \cdot {t^3} - 0,19 \cdot {t^2} + 5,73 \cdot t + 73{\text{ mit }}1 \leqslant t \leqslant 24\)

• t … Alter in Monaten
• h(t) … Widerristhohe eines Rindes im Alter t in cm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie das Alter, in dem gemäß diesem Modell eine Widerristhohe von 115 cm erreicht wird.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Weisen Sie mithilfe der 2. Ableitung von h nach, dass der Graph von h im gesamten Definitionsbereich [1; 24] negativ gekrümmt ist.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Es gilt: h′(12) ≈ 2,2

Interpretieren Sie den Wert 2,2 im gegebenen Sachzusammenhang. Geben Sie dabei die zugehörige Einheit an.
[1 Punkt]

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Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr - Aufgabe A_143

Teil a

Die Bremswege eines PKW auf schneebedeckter sowie auf trockener Fahrbahn werden miteinander verglichen. Das nachstehende Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt modellhaft den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v_S auf schneebedeckter Fahrbahn sowie den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v_T auf trockener Fahrbahn vom Reagieren der Bremse bis zum Stillstand des PKW.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe des obigen Diagramms die (negative) Beschleunigung auf schneebedeckter Fahrbahn.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Der Bremsweg ist diejenige Strecke, die der PKW vom Reagieren der Bremse (t = 0) bis zum Stillstand zurücklegt. Veranschaulichen Sie im obigen Diagramm den Bremsweg auf trockener Fahrbahn.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe des obigen Diagramms die Differenz zwischen dem Bremsweg auf schneebedeckter Fahrbahn und dem Bremsweg auf trockener Fahrbahn.

[1 Punkt]

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Winterliche Fahrbahnverhältnisse im Straßenverkehr - Aufgabe A_143

Teil b

Auf einer geraden Teststrecke werden mit zwei PKWs Bremsversuche durchgeführt. Die beiden PKWs fahren dabei in die gleiche Richtung. Während der ersten 5 s des Bremsvorgangs werden die Abstande der beiden PKWs zu einer Markierungslinie gemessen. Diese Abstande können näherungsweise durch die nachstehenden Funktionen beschrieben werden:

\(\begin{array}{l} {s_A}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 20 \cdot t + 12\\ {s_B}\left( t \right) = - 2 \cdot {t^2} + 24 \cdot t \end{array}\)

mit:

• s_A(t) ... Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t in m
• s_B(t) ... Abstand des PKW B zur Markierungslinie zur Zeit t in m

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Abstand des PKW A zur Markierungslinie zur Zeit t = 2.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie, dass PKW A zur Zeit t = 3 langsamer als PKW B fährt.

[1 Punkt]

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Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292

Teil a

Die Entwicklung der Höhe von vier verschiedenen Pflanzen wurde über einen Zeitraum von 20 Tagen beobachtet und lässt sich jeweils näherungsweise durch die Funktion f, g, h bzw. p beschreiben.

• t ... Zeit ab Beobachtungsbeginn in Tagen
• f(t), g(t), h(t), p(t) ... Höhe der entsprechenden Pflanze zur Zeit t in cm

Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen dieser vier Funktionen.

Bild

Zur Zeit t = 20 sind diese vier Pflanzen gleich hoch.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die mittlere Änderungsrate der Höhe in Zentimetern pro Tag im Zeitintervall [0; 20].
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den beiden Aussagen 1 und 2 jeweils die entsprechende Funktion aus A bis D zu.
[2 zu 4] [1 Punkt]

• Aussage 1: Im Zeitintervall [0; 20] ist die 1. Ableitung streng monoton steigend.
• Aussage 2: Im Zeitintervall [0; 20] ist die 2. Ableitung immer negativ.

• Lösung A: f
• Lösung B: g
• Lösung C: h
• Lösung D:p

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Pflanzenwachstum - Aufgabe A_292

Teil b

Die Höhe der Pflanzen einer bestimmten Pflanzenart wird untersucht, wobei einige der Pflanzen regelmäßig gedüngt werden und die anderen nicht. Nach einer bestimmten Zeit werden die Höhen aller beobachteten Pflanzen gemessen. Der Boxplot für die Höhen der nicht gedüngten Pflanzen ist im unten stehenden Diagramm dargestellt.

Für die Höhen der gedüngten Pflanzen gilt:

• Minimum: 19 cm
• 1. Quartil: 21 cm
• Median: 25 cm
• Interquartilsabstand: 6 cm
• Spannweite: 16 cm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie im nachstehenden Diagramm den Boxplot für die Höhen der gedüngten Pflanzen ein.

Bild

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Aus dem Boxplot für die Höhen der nicht gedüngten Pflanzen kann Folgendes abgelesen werden: Mindestens ein Viertel der Pflanzen hat eine Höhe kleiner als oder gleich einem Wert a, und zugleich haben mindestens drei Viertel der Pflanzen eine Höhe größer als oder gleich diesem Wert a. Geben Sie diesen Wert a an.

a = cm
[1 Punkt]