Matrixalgebra

Matrixalgebra

Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen mit denen man rechnen kann

Addition bzw. Subtraktion von Matrizen

Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen (die gleich vielen Zeilen und Spalten haben müssen, die also quadratische Matrizen sind) erfolgt, indem man die Komponenten mit gleichem Index addiert bzw. subtrahiert. Das Resultat ist wieder eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten wie die Summanden bzw. wie Minuend und Subtrahend.

\(A \pm B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{....}&{{b_{1n}}}\\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{m1}}}&{{b_{m2}}}&{...}&{{b_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \pm {b_{11}}}&{{a_{12}} \pm {b_{12}}}&{....}&{{a_{1n}} \pm {b_{1n}}}\\ {{a_{21}} \pm {b_{21}}}&{{a_{22}} \pm {b_{22}}}&{...}&{{a_{2n}} \pm {b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}} \pm {b_{m1}}}&{{a_{m2}} \pm {b_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}} \pm {b_{mn}}} \end{array}} \right)\)

Multiplikation einer Matrix A mit einer Zahl k

Eine Matrix A wird mit einer Zahl k multipliziert, indem man jede einzelne Komponente der Matrix mit der Zahl multipliziert.

\(k \cdot A = k \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k \cdot {a_{11}}}&{k \cdot {a_{12}}}&{....}&{k \cdot {a_{1n}}}\\ {k \cdot {a_{21}}}&{k \cdot {a_{22}}}&{...}&{k \cdot {a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {k \cdot {a_{m1}}}&{k \cdot {a_{m2}}}&{...}&{k \cdot {a_{mn}}} \end{array}} \right)\)

Multiplikation von Matrizen

• Damit man überhaupt 2 Matrizen mit einander multiplizieren kann, muss die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich groß wie die Zeilenanzahl der 2. Matrix sein. Das Produkt der beiden Matrizen ist wieder eine Matrix, die so viele Zeilen wie die 1. Matrix und so viele Spalten wie die 2. Matrix hat
• Die Komponente c_ij(also das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte) der resultierenden Matrix C errechnet sich aus der Summe aller Produkte der i-ten Zeile von Matrix A und der j-ten Spalte von Matrix B.
• Die Multiplikation von Matrizen ist im allgemeinen nicht kommutativ. \(A \cdot B \ne B \cdot A\)
• Die Einheitsmatrix I ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation gemäß: \(A \cdot I = I \cdot A = A\)
• Für 3 Matrizen die man miteinander multiplizieren kann, gilt das Assoziativgesetz gemäß: \(\left( {A \cdot B} \right) \cdot C = A \cdot \left( {B \cdot C} \right)\)
• Es gibt 2 Varianten vom Distributivgesetz:
  • links nach rechts: \(A \cdot \left( {B + C} \right) = A \cdot B + A \cdot C\)
  • rechts nach links: \(\left( {A + B} \right) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\)

In Matrizenschreibweise ergibt sich:

\(C = A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{1p}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{i1}}}&{...}&{{a_{ip}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{...}&{{a_{mp}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{...}&{{b_{1j}}}&{...}&{{b_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{p1}}}&{...}&{{b_{pj}}}&{...}&{{b_{pn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{...}&{{c_{1j}}}&{...}&{{c_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{i1}}}&{...}&{{c_{ij}}}&{...}&{{c_{in}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{m1}}}&{...}&{{c_{mj}}}&{...}&{{c_{mn}}} \end{array}} \right)\)

mit \(\eqalign{ & {c_{ij}} = {a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} + ... + {a_{ip}} \cdot {b_{pj}} \cr & {c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^m {{a_{ik}} \cdot {b_{kj}}} \cr} \)

wobei

Achtung: Es ist zwar möglich die beiden Matrizen zu multiplizieren, es ist aber nicht möglich A+B oder A-B, also die Summe bzw. die Differenz der beiden Matrizen zu berechnen, da sie unterschiedliche Dimensionen haben.

Potenz einer Matrix

Die n-te Potenz einer Matrix erhält man, indem man die Matrix n mal mit sich selbst multipliziert

\(\eqalign{ & {A^2} = A \cdot A \cr & {A^n} = A \cdot ... \cdot A{\text{ (n - mal multipliziert)}} \cr} \)