Modus

Lagemaße

Lagemaße sind Kennzahlen, die Auskunft zur zentralen Tendenz geben, wo auf einer vorgegebenen Skala sich die Werte einer Grundgesamtheit konzentrieren.

Häufigkeitsverteilung

Die Häufigkeitsverteilung ist eine Liste, die für jeder Merkmalsausprägung deren Häufigkeit in der Urliste angibt.

Bespiel: Eine Münze wird 10 mal geworfen.
Die Urliste sieht wie folgt aus: (Kopf, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf)

absolute Häufigkeit H_i

Die Summe der Striche in einer Strichliste je Merkmalsausprägung nennt man die absolute Häufigkeit. Absolute Häufigkeiten haben nur dann eine Aussagekraft, wenn man die Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten ebenfalls anführt. z.B.: 16 von 24 Schülern haben eine positive Schularbeitsnote erhalten. Addiert man alle einzelnen absoluten Häufigkeiten H_i, so erhält man die Gesamtzahl n aller Erhebungseinheiten bzw. den Umfang der Stichprobe.
\(\begin{array}{l} H\left( {{x_1}} \right),H\left( {{x_2}} \right),...,H\left( {{x_k}} \right)\\ {H_1} + {H_2} + ... + {H_k} = n \end{array}\)

relative Häufigkeit h_i

Die relative Häufigkeit h_i bzw. der Anteil je Merkmalsausprägung an der Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten erhält man, indem man die jeweilige absolute Häufigkeit H_i auf die Gesamtzahl n bezieht (also in Relation setzt, mathematisch durch Division). z.B.: 16 von 24 Schülern sind 0,67. Addiert man alle einzelnen relativen Häufigkeiten h_i, so erhält man 1.
\(\begin{array}{l} {h_1},{h_2},...,{h_k}\\ {h_i} = \dfrac{{{H_i}}}{n} \end{array}\)

prozentuelle Häufigkeit h_i

Multipliziert man die relative Häufigkeit h_i mit 100, so erhält man die prozentuelle Häufigkeit. Da die prozentuelle Häufigkeit die relative Häufigkeit in %-ausgedrückt ist, verwendet man ebenfalls h_i als Formelzeichen. z.B.: 16 von 24 Schülern sind 67%. Addiert man alle einzelnen prozentuellen Häufigkeiten h_i, so erhält man den Wert 100 (entsprechend 100% bei der relativen Häufigkeit).
\({h_i}\left[ \% \right] = {h_i} \cdot 100\)

Prozentpunkte

Die Änderung der prozentuellen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung bezeichnet man als Prozentpunkt.
\(\Delta {h_i} = {h_{i,neu}} - {h_{i,alt}}\)

Beispiel:
Haben bei der nächsten Schularbeit 17 statt der 16 der 24 Schüler eine positive Note, so ist die

• absolute Änderung 1 (Schüler),
• bei der 1. Schularbeit hatten 67% (16 von 24) eine positive Note, bei der nächsten Schularbeit hatten 71% (17 von 24) eine positive Note
• die prozentuelle Änderung beträgt 4 Prozentpunkte (nunmehr 71% statt bisher 67% prozentueller Häufigkeit)

Durch die Angabe von 4 Prozentpunkten vermeidet damit eine Verwechslung zwischen der Änderung um 4% und der prozentuellen Häufigkeit von 71%. Beides sind ja Prozentwerte.

Modus bzw. Modalwert m

Der Modus bzw. Modalwert m ist jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt. Der Modalwert wird durch Abzählen der einzelnen gemessenen Werte x_i der Datenreihe gebildet.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel bzw. der Durchschnitt, ist ein Lagemaß, welches sich aus der Summe aller erhobenen Werte, direkt aus der Urliste, dividiert durch die Anzahl der Werte errechnet.

\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

\(\overline x\) ... gesprochen als "x quer"

Der arithmetische Mittelwert, auch als Durchschnittswert bezeichnet, ist das wichtigste Zentralmaß in der beschreibenden Statistik. Man spricht von einem ungewichteten Mittelwert, da alle gemessenen Werte x_i mit dem gleichen Gewicht 1/n in den Mittelwert eingehen. Die Summe aller Abweichungen der einzelnen Stichproben vom arithmetischen Mittelwert heben sich auf und sind daher Null. Große Ausreißer in der Stichprobe, asymmetrische oder mehrgipfelige Verteilungen beeinflussen das arithmetische Mittel sehr stark und führen zu nicht repräsentativen Aussagen.

Getrimmtes arithmetisches Mittel

Um den arithmetischen Mittelwert robuster zu machen, werden beim "getrimmten" arithmetischen Mittel die k kleinsten und die k größten Ausreißer nicht berücksichtigt, wobei: k << n/2 sein muss.

\(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

Bei einer Trimmung um k=3 bzw. um 3% würden bei einem Datensatz mit n=100 Werte die 3 größten und die 3 kleinsten Werte gestrichen werden, womit in obiger Formel n=94 und x₄, x₅, ... x₉₆, x₉₇ gilt.

Gewogenes bzw. gewichtetes arithmetisches Mittel

Das gewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn nicht mehr die Urliste sondern bereits die absoluten Häufigkeiten H(x_i) bzw. die relativen Häufigkeiten h_i der Ausprägung x_i vorliegen.

\(\eqalign{ & \overline x = {{{x_1} \cdot {H_1} + {x_2} \cdot {H_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m}} \over n} = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i} \cdot {H_i}} \cr & \overline x = {x_1} \cdot {h_1} + {x_2} \cdot {h_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m} \cr}\)

Die absolute Häufigkeit H_i gibt an, wie viele Elemente mit dem entsprechenden i-ten Merkmal gezählt wurden.

Geometrisches Mittel

Hat man die Beobachtungswerte aus der Urliste gegeben, so bildet man das Produkt der n Stichproben und zieht anschließend die n-te Wurzel. Man erhält das ungewogene geometrische Mittel

\({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\)

Gewogenes geometrisches Mittel

Hat man die absoluten H(x_i) bzw. die relativen h_i Häufigkeiten gegeben, so errechnet sich das gewogene geometrische Mittel wie folgt:

\({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1}^{{H_1}} \cdot {x_2}^{{H_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{N_n}}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{H_i}}} }}\)

\({\overline x _{geom}} = {x_1}^{{h_1}} \cdot {x_2}^{{h_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{h_n}} = \prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{h_i}}} \)

Unterschied geometrisches und arithmetisches Mittel

• Das geometrische Mittel errechnet sich über ein Produkt und die anschließende n-te Wurzel, während sich das arithmetische Mittel über eine Summe und durch anschließende Division durch n errechnet.
• Das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Es wird vorwiegend in den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften für Wachstumsfaktoren eingesetzt, etwa zur Berechnung vom Durchschnitt einer prozentuellen Verzinsung.
• Das geometrische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander abhängig sind, etwa wie die Kapitalrendite über mehrere Jahre bei unterschiedlicher Verzinsung über die Jahre hinweg. Keiner der gemessenen Werte darf Null oder Negativ sein.
• Das arithmetische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander unabhängig sind, etwa wie die Noten bei einer Prüfung von den verschiedenen Schülern der Klasse.

Gleitender Mittelwert

Das gleitende Mittel ist eine Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte.

Beispiel: Es liegen die Einkommenswerte eines Angestellten je Monat für den Zeitraum von 10 Jahren vor. Der Angestellte will sein jeweiliges Monatsdurchschnittseinkommen kennen. Er berechnet immer die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. Dann streicht er das am weitesten in der Vergangenheit liegende Monat raus und ergänzt um das zeitlich nächst Monat und rechnet erneut die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. So erhält er den gleitenden Mittelwert seines Monatseinkommens während des Betrachtungszeitraums. Dieser Wert ist im Vergleich zum Monatseinkommen stark geglättet weil punktuelle Ereignisse (13. Gehalt, Prämie, Sabbatical ...) nicht stark durchschlagen. 

Median

Der Median bzw. Zentralwert med ist der in der Mitte stehende Wert x_i einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.

\(\eqalign{ & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = gerade}}}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2} \cr & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = ungerade}}}} = {x_{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}} \cr} \)

Quartil, Perzentil und Quantil

Quartile, Perzentile und Quantile sind Lagemaße einer Verteilung und werden in der beschreibenden Statistik verwendet.

Quartil

Quartilen teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 4 gleich große Viertel.

• Das 1. Quartil q₁ ist der Median der unteren Hälfte. Mindestens 25% der Werte sind kleiner oder gleich q₁, zugleich sind mindestens 75% der Werte größer oder gleich q₁
• Das 2. Quartil q₂=z ist der Median selbst. Mindestens 50% der Werte sind kleiner oder gleich q₂, zugleich sind mindestens 50% der Werte größer oder gleich q₂
• Das 3. Quartil q₃ ist der Median der oberen Hälfte. Mindestens 75% der Werte sind kleiner oder gleich q₃, zugleich sind mindestens 25% der Werte größer oder gleich q₃

Illustration wie 3 Quartile die aufsteigenden Größen in 4 Viertel teilen.

Perzentil

Perzentile teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 100 gleich große Teile. Perzentile entsprechen also den vertrauten Prozentangaben.

Quantil

Quantile teilen eine nach aufsteigender Größe geordneten Liste in zwei (ungleiche) Teile. Das p-Quantil besagt, dass mindestens p% der Werte kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sind und (1-p)% der Werte größer oder gleich diesem Wert sind. Quartile und Perzentile sind "besondere" Quantile. 

Beispiel:
geordnete Liste von 10 Werten: 2,3,5,7,8,9,10,12,14,15

• 1. Quartil: 2,5 von 10 Werten --> aufgerundet der 3. Wert --> q₁=5
• 2. Quantil; 5. plus 6. Wert halbe --> (8+9)/2=8,5 --> q₂=8,5=Median
• 3. Quartil: 7,5 von 10 Werte n --> aufgerundet der 8. Wert --> q₃=12