Nullphasenwinkel

Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.

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Allgemeine Sinusfunktion

Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann. 

 

Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion

Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.

\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)

Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

A Amplitude (=maximale Auslenkung)
\(\omega \) Kreisfrequenz (Maß dafür, wie schnell die Schwingung abläuft)
\( \varphi\) Nullphasenwinkel (bei einer "allgemeinen" Schwingung ist die Amplitude zum Zeitpunkt t=0 größer oder kleiner - auf jeden Fall ungleich - als Null. 
T Schwingungsdauer (Periodendauer)
f Frequenz

 

Nullphasenwinkel

Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.

Phasenverschiebungswinkel

Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist. Ein Beispiel für die physikalische Bedeutung ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung etwa bei Drehstromsystemen als Maß für die unerwünschte Blindleistung Q gemäß \(Q = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)

  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem positiven Wert , so wird der Graph der Funktion nach links verschoben. 
  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem negativen Wert , so wird der Graph der Funktion nach rechts verschoben.
Illustration einer um +90° phasenverschobenen Sinusfunktion die somit zur Kosinusfunktion wird
  • In rot die Sinusfunktion
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Allgemeine Sinusfunktion
Amplitude
Kreisfrequenz
Nullphasenwinkel
Schwingungsdauer
Periodendauer
Frequenz f
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion

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