Periodendauer

Hier findest du folgende Inhalte

3
Formeln
13
Aufgaben
Formeln
Wissenspfad

Frequenz im Wechselstromkreis

Die in Herz gemessene Frequenz gibt an, wie viele Perioden eine Wechselgröße in einer Sekunde durchläuft. Eine Periode entspricht einer positiven plus einer negativen Halbwelle einer sinusförmigen Schwingung. Die Zeit, die zum Durchlaufen einer Periode benötigt wird, nennt man die Periodendauer. In Nordamerika (Kanada, USA, Mexiko) und in wenigen andern Ländern wie Brasilien beträgt die Netzfrequenz 60Hz. Im Großteil der Welt beträgt die Netzfrequenz 50Hz.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

f Frequenz in Hz
T Schwingungs- oder Periodendauer in Sekunden
\(\omega\) Kreisfrequenz in 1/s

Praktische Bedeutung der Netzfrequenz von 50 Hz

Elektrische Energie wird vorwiegend mittels Synchrongeneratoren - alternativ auch mittels Wechselrichter aus Gleichstrom etwa von Photovoltaikanlagen - erzeugt. Die Netzfrequenz beträgt in den 3 europäischen Verbundnetzen UCTE, NORDEL und IPS/UPS einheitlich 50 Hz.

Elektrische Leistung muss immer im selben Augenblick wo sie verbraucht wird auch erzeugt werden. Ist das nicht der Fall, hat das Auswirkungen auf die Netzfrequenz, was sich in der Praxis sogar in der Genauigkeit der Uhrzeit bei netzsynchronen Uhren mit bis zu 6 Minuten Anzeigeungenauigkeit niederschlagen kann.

  • Übersteigt der Verbrauch kurzzeitig die Erzeugung, so sinkt die Netzfrequenz. Die fehlende Energie stammt aus der rotierenden Masse aller beteiligten Synchrongeneratoren, die so Rotationsenergie verlieren und demzufolge langsamer drehen, was wiederum zu einem Absinken der Netzfrequenz führt. Eine lokale Abweichung in Form von einem Totband von +/- 20 mHz ist zulässig, ohne dass Regelleistung eingesetzt wird.
  • Im normalen Netzbetrieb darf die Frequenz um +/- 200 mHz vom Sollwert 50 Hz abweichen. Derartige Abweichungen (49,8 bzw. 50,2 Hz) werden durch den Einsatz der Primär-, Sekundär- und Tertiärregelung ausgeregelt.
  • Übersteigt die Abweichung +/- 800 mHz, entsprechend 49,2 bzw. 50,8 Hz auch nur kurzfristig, werden Verbraucher oder Erzeuger abgeworfen, d.h. von Netz getrennt.
  • Die größte Gefahr für ein Übertragungsnetz geht aber durch den ungeplanten Ausfall von großen Kraftwerken aus, denn sinkt die Frequenz auf unter 47,7 Hz trennen sich die Kraftwerke automatisch von Netz ab. Die Folge davon ist der Zerfall des Verbundnetzes in Inselnetze bzw. der Netzzusammenbruch.

Kreisfrequenz im Wechselstromkreis

Die Kreisfrequenz ist das 2π -fache der Frequenz. Die Kreisfrequenz \(\omega\) entspricht dem in 1 Sekunde vom einem Zeiger der Länge 1 überstrichenem Winkel. Da die Kreisfrequenz das Produkt von \(2 \cdot \pi\) und der Frequenz f ist, wird bei einer Frequenz von 50 Hz der Kreis vom zugehörigen Zeiger 50 mal pro Sekunde umlaufen.

\(\omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)

Frequenz im Wechselstromkreis
Schwingungsdauer
Periodendauer
Kreisfrequenz

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen

Startseite
Illustration Medidation 1050x450
Startseite
Wissenspfad

Allgemeine Sinusfunktion

Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann. 

 

Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion

Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.

\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)

Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

A Amplitude (=maximale Auslenkung)
\(\omega \) Kreisfrequenz (Maß dafür, wie schnell die Schwingung abläuft)
\( \varphi\) Nullphasenwinkel (bei einer "allgemeinen" Schwingung ist die Amplitude zum Zeitpunkt t=0 größer oder kleiner - auf jeden Fall ungleich - als Null. 
T Schwingungsdauer (Periodendauer)
f Frequenz

 

Nullphasenwinkel

Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.

Phasenverschiebungswinkel

Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist. Ein Beispiel für die physikalische Bedeutung ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung etwa bei Drehstromsystemen als Maß für die unerwünschte Blindleistung Q gemäß \(Q = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)

  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem positiven Wert , so wird der Graph der Funktion nach links verschoben. 
  • Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem negativen Wert , so wird der Graph der Funktion nach rechts verschoben.
Illustration einer um +90° phasenverschobenen Sinusfunktion die somit zur Kosinusfunktion wird
  • In rot die Sinusfunktion
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Allgemeine Sinusfunktion
Amplitude
Kreisfrequenz
Nullphasenwinkel
Schwingungsdauer
Periodendauer
Frequenz f
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer allgemeinen Sinusfunktion
Wissenspfad

Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet

\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)

Funktion p Funktion p: p(x) = f(x) + g(x) + h(x) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) T Text9 = “T”

Frequenz

Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Periodendauer

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.

\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Funktion f f(x) = 2sin(2x - 10) Strecke g Strecke g: Strecke D, E Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt A Punkt A: Schnittpunkt von f, xAchse mit Startwert (-1.28, 0) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von xAchse, yAchse T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” T =\frac{λ}{c} text1 = “T =\frac{λ}{c}” A_0 text2 = “A_0” A_0 text2 = “A_0” -A_0 text3 = “-A_0” -A_0 text3 = “-A_0” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” y=A_0 sin (\omega t + φ) text4 = “y=A_0 sin (\omega t + φ)” ${\varphi }$ text5 = “${\varphi }$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\lambda = \frac{c}{f}$ Text1 = “$\lambda = \frac{c}{f}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” $\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$ Text2 = “$\begin{array}{l} \omega t\\ t\\ s \end{array}$” A Text3 = “A”

Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt

  • A0 die Höhe der Amplitude an
  • \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
  • \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.

Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:

In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.

Wellenlänge

Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)

Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:

  • Für Schallwellen: c = 343 m/s
  • Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s

Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)

Schwingung

Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(T = \dfrac{1}{f}\)

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.

  • Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
  • Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung

Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Winkel ωt Winkel ωt: Winkel zwischen D', A, D Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, sin(x)) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, cos(x)) Strecke k Strecke k: Strecke C, E Strecke j Strecke j: Strecke D, F Strecke m Strecke m: Strecke F, G Strecke n Strecke n: Strecke A, H Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Vektor u Vektor u: Vektor(A, D) Punkt A A = (-3, 0) Punkt A A = (-3, 0) Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt D Punkt D: Schnittpunkt von c, i Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt H Punkt H: Schnittpunkt von k, xAchse Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) Punkt D' Punkt D': D gedreht um Winkel -(45°) x(t) = sin(ωt) Text1 = “x(t) = sin(ωt)” x(t) = cos(ωt) Text2 = “x(t) = cos(ωt)”

Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.

\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)

U die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung)
\(\omega\) die Kreisfrequenz

Dabei gilt:

\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)

T die Schwingungsdauer
\(\varphi\) der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0

Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung

Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

  • Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
  • Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
    Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
    \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
  • Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
    • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
    • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
  • Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
​Illustration 
  • In rot die Sinusfunktion.
  • In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
  • In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.

Funktion f f(x) = sin(x) Funktion g g(x) = 0.75cos(x) Funktion h h(x) = sin(x + 1.57) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) Vektor u Vektor u: Vektor(F, E) sin(x) Text1 = “sin(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” 0.75 \cdot cos(x) Text2 = “0.75 \cdot cos(x)” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$” $ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$ Text3 = “$ \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$”

Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus

Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß

  • \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
  • \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Periodische Funktion
Periodendauer
Schwingung
Frequenz f
Nulldurchgang
Wellenlänge
Zusammenhang Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Halbwelle
Harmonische Schwingung
Amplitude
Schwingungsdauer
Kreisfrequenz
Phasenverschiebung zwischen Sinus und Kosinus
Gleichung einer Schwingung
Phasenverschiebungswinkel
Parameter einer Schwingung
Aufgaben
Lösungsweg

Aufgabe 1283

AHS - 1_283 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Atemzyklus
Der Luftstrom beim Ein- und Ausatmen einer Person im Ruhezustand ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit nach einer Funktion f. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt ein Atemzyklus. f ( t) ist die bewegte Luftmenge in Litern pro Sekunde zum Zeitpunkt t in Sekunden und wird durch die Gleichung \(f\left( t \right) = 0,5 \cdot \sin \left( {0,4 \cdot \pi \cdot t} \right)\) festgelegt.

(Datenquelle: Timischl, W. (1995). Biomathematik: Eine Einführung für Biologen und Mediziner. 2. Auflage. Wien u. a.: Springer.)

Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Dauer eines gesamten Atemzyklus!

Periodendauer
Atemzyklus - 1283. Aufgabe 1_283
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen

Startseite
Illustration Medidation 1050x450
Startseite
Lösungsweg

Aufgabe 1338

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinusfunktion

Im untenstehenden Diagramm sind die Graphen zweier Funktionen f und g dargestellt.

Funktion f f(x) = 2sin(x) Funktion g g(x) = sin(2x) f Text1 = "f" g Text2 = "g"

Die Funktion f hat die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) mit den reellen Parametern a und b. Wenn diese Parameter in entsprechender Weise verändert werden, erhält man die Funktion g.

Aufgabenstellung:
Wie müssen die Parameter a und b verändert werden, um aus f die Funktion g zu erhalten? Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!

Um den Graphen von g zu erhalten, muss a ___1___ und b ___2___ .

1  
verdoppelt werden A
halbiert werden B
gleich bleiben C

 

2  
verdoppelt werden I
halbiert werden II
gleich bleiben III
Sinusfunktion
Amplitude
Periodendauer
Sinusfunktion - 1338. Aufgabe 1_338
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 6017

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Eigenschaften einer Sinusfunktion

Gegeben ist die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(f:x \mapsto \sin \left( {2x} \right)\).  

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Amplitude der Funktion f an.

2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Periode der Funktion f an.

3. Teilaufgabe a.3) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Wertemenge der Funktion f an.

kostenlose Vorbereitung Mathe Abitur Bayern 2015 - Teil A - Analysis
Periodendauer
Amplitude
Parameter einer Sinusfunktion
Lösungsweg

Aufgabe 1625

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinusfunktion

Für \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }\) sei die Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}\) mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\) für \(x \in {\Bbb R}\) gegeben. Die beiden nachstehenden Eigenschaften der Funktion f sind bekannt:

  • Die (kleinste) Periode der Funktion f ist π.
  • Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Funktionswert von f beträgt 6.

Aufgabenstellung
Geben Sie a und b an!

  • a =
  • b =
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Periodendauer
Amplitude
Sinusfunktion - 1625. Aufgabe 1_625
Lösungsweg

Aufgabe 1601

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parameter einer Sinusfunktion

Gegeben ist der Graph einer Funktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x) Funktion f f(x) = 2sin(1.5x)

Aufgabenstellung:
Aufgabenstellung: Geben Sie die für den abgebildeten Graphen passenden Parameterwerte a und b an!
a=
b=

Parameter einer Sinusfunktion - 1601. Aufgabe 1_601
Amplitude
Periodendauer
Periodische Funktion
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.1

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen

Startseite
Illustration Medidation 1050x450
Startseite
LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 1577

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Periodizität

Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = 3 \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right){\text{ mit }}b \in {\Bbb R}\)

  • Aussage 1: \(\dfrac{b}{2}\)
  • Aussage 2: \(b\)
  • Aussage 3: \(\dfrac{b}{3}\)
  • Aussage 4: \(\dfrac{\pi }{b}\)
  • Aussage 5: \(\dfrac{{2\pi }}{b}\)
  • Aussage 6: \(\dfrac{\pi }{3}\)

Aufgabenstellung:
Einer der obenstehend angegebenen Werte gibt die (kleinste) Periodenlange der Funktion f an. Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an!

Periodendauer
Periodizität - 1577. Aufgabe 1_577
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Lösungsweg

Aufgabe 4202

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Baumhaus - Aufgabe A_116

Teil c

Ein Baumhaus wird mit gewellten Kunststoffplatten überdacht.

Funktion f f(x) = Wenn(0 < x < 30, cos(x)) Strecke g Strecke g: Strecke B, C Strecke h Strecke h: Strecke D, E Strecke i Strecke i: Strecke F, G Strecke j Strecke j: Strecke H, I Strecke k Strecke k: Strecke J, K

Dem Querschnitt liegt der Graph der Funktion f mit f(x) = cos(x) zugrunde. Dieser ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.

Viereck v1 Viereck v1: Polygon J, K, L, M Funktion f f(x) = cos(x) Gerade g Gerade g: Gerade durch E senkrecht zu yAchse Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke J, K Strecke k Strecke k: Strecke K, L Strecke l Strecke l: Strecke L, M Strecke m Strecke m: Strecke M, J Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor u Vektor u: Vektor(H, I) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Vektor v Vektor v: Vektor(I, H) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von f, g mit Startwert (1.06, 0.49) Punkt F Punkt F: Schnittpunkt von f, g mit Startwert (1.06, 0.49) Punkt G Punkt G: Schnittpunkt von f, g mit Startwert (7.35, 0.49) Punkt G Punkt G: Schnittpunkt von f, g mit Startwert (7.35, 0.49) f(x) Text1 = “f(x)” x in rad Text2 = “x in rad”

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zahl in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[1 Punkt]

In der nachstehenden Abbildung ist ein Winkel α im Einheitskreis dargestellt.

Kreis c Kreis c: Kreis mit Mittelpunkt E und Radius 5 Winkel α Winkel α: Winkel zwischen G, E, F Winkel α Winkel α: Winkel zwischen G, E, F Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor v Vektor v: Vektor(E, G) Vektor v Vektor v: Vektor(E, G) α Text1 = “α” x Text2 = “x” y Text3 = “y”

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im obigen Einheitskreis denjenigen Winkel β ein, für den gilt:
\(\sin \left( \beta \right) = \sin \left( \alpha \right){\text{ mit }}\beta \ne \alpha {\text{ und 0°}} \leqslant \beta \leqslant {\text{360° }}\)

[1 Punkt]

Baumhaus - Aufgabe A_116
Periodendauer
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool alle Cluster
Mathematik Zentralmatura BHS - Jänner 2020 - kostenlos vorgerechnet
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.10
Lösungsweg

Aufgabe 1745

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sinusfunktion

Gegeben ist eine Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ mit }}f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\pi \cdot x}}{b}} \right){\text{ mit }}a,b \in {R^ + }\)

Aufgabenstellung
Ergänzen Sie in der nachstehenden Abbildung a und b auf der jeweils entsprechenden Achse so, dass der abgebildete Graph dem Graphen der Funktion f entspricht. [0 / 1 Punkt]

Funktion f f(x) = 2sin(x) f Text1 = “f”

Sinusfunktion - 1745. Aufgabe 1_745
Periodendauer
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.3
Lösungsweg

Aufgabe 1284

AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)

\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)

Funktion f1 f1(x) = sin(x) Funktion f2 f2(x) = sin(2x) Funktion f3 f3(x) = sin(x / 2) f_{1} text1 = "f_{1}" f_{1} text1 = "f_{1}" f_{2} text2 = "f_{2}" f_{2} text2 = "f_{2}" f_{3} text3 = "f_{3}" f_{3} text3 = "f_{3}" f_{3} text3 = "f_{3}"

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Winkelfunktionen
Periodendauer
Periodizität - 1284. Aufgabe 1_284
Parameter einer Sinusfunktion

Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen

Startseite
Illustration Medidation 1050x450
Startseite
Lösungsweg

Aufgabe 1506

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Periodische Funktion

Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle \(x \in {\Bbb R}\) die Gleichung \(f\left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\) gilt!

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.4
Periodendauer
Periodische Funktion - 1506. Aufgabe 1_506
Bogenmaß
Lösungsweg

Aufgabe 1530

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Winkelfunktionen

Gegeben sind die Funktionen f und g mit \(f(x) = - \sin (x)\) bzw. \(g(x) = \cos (x)\).

Aufgabenstellung:
Geben Sie an, um welchen Wert \(b \in [0;2\pi ]\) in rad der Graph von f verschoben werden muss, um den Graphen von g zu erhalten, sodass \(-sin\left( {x + b} \right) = cos\left( x \right)\) gilt!

Periodendauer
Winkelfunktionen - 1530. Aufgabe 1_530
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 6.5
Lösungsweg

Aufgabe 4343

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Blutdruck - Aufgabe B_448

Teil b

Die zeitliche Entwicklung des sogenannten systolischen Blutdrucks einer Testperson wird durch eine Funktion f modelliert (siehe nachstehende Abbildung).

beispiel_4343_1

 

Die Funktion f wird beschrieben durch:
\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{12}} \cdot t} \right) + 135\)

t

Zeit in h
f(t) systolischer Blutdruck zur Zeit t in Millimeter Quecksilbersäule (mmHg)
a Parameter

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie in der obigen Abbildung die fehlende Zeitangabe in das dafür vorgesehene Kästchen ein.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Bestimmen Sie den Parameter a.
[1 Punkt]

Der Graph der Funktion f1 in der obigen Abbildung entsteht durch vertikale Verschiebung des Graphen von f.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erstellen Sie ausgehend von f eine Funktionsgleichung für f1.

[1 Punkt]

Blutdruck - Aufgabe B_448
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2019 - kostenlos vorgerechnet
Periodendauer
Amplitude
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Parameter einer Sinusfunktion
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_3.3