Periodische Funktion

Darstellung von Funktionen

Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.

\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)

Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)

Funktionsgleichung

Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge D_f auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.

\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)

Daher nennt man

• y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
• x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument

Typen wichtiger Funktionsgleichungen

Graph einer Funktion

Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.

\(y = f\left( x \right)\)

Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.

Wertetabelle einer Funktion

Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge D_f ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge W_f, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.

Mengendiagramm einer Funktion

Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden

Periodische Funktion

Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet

\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)

Frequenz

Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.

\(f = \dfrac{1}{T}\)

Periodendauer

Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.

\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)

Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt

• A₀ die Höhe der Amplitude an
• \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
• \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.

Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:

In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.

Wellenlänge

Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)

Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:

• Für Schallwellen: c = 343 m/s
• Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s

Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge

Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.

\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)

Schwingung

Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.

\(T = \dfrac{1}{f}\)

Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.

• Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
• Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung

Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.

\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)

Dabei gilt:

\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)

Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung

Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.

\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)

• Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
• Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
  Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
  \(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\)
• Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
  • Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
  • Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
• Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d

​Illustration 

• In rot die Sinusfunktion.
• In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
• In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.

Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus

Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß

• \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
• \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)