Raumzeit Singularität

Relativitätstheorien

Newtonsche Theorien

Die Newtonsche Mechanik berücksichtigt die Gravitation als eine Kraft wie jede andere Kraft. Die Gravitationskraft hängt von der Masse der beteiligten Objekte, dem Quadrat ihres Abstands und von einer Gravitationskonstante ab. Die Newtonsche Gravitation gilt nur für Geschwindigkeiten die sehr viel kleiner sind als die Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird bei Newton als „unendlich“ angesehen.

Spezielle Relativitätstheorie (SRT - 1905)

Ausgehend vom Experiment von Michelson und Morley, welches zeigte, dass das Licht - anders als Schall - kein Medium (namentlich den Lichtäther als bevorzugtes Bezugssystem) zu seiner Ausbreitung und zum damit verbundenen Energietransport benötigt, basiert die SRT auf dem Prinzip der Konstanz der (endlichen) Lichtgeschwindigkeit. Aus der rein theoretischen Betrachtung von gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegter Bezugssysteme, leiten sich Phänomene wie die Längenkontraktion und die Zeitdilation ab, die erst Jahrzehnte später experimentell bewiesen werden konnten. In der SRT sind Ort, Zeit und Geschwindigkeit relativ, nur die Beschleunigung und die Lichtgeschwindigkeit sind absolut. Auf Grund des späten experimentellen Nachweises hat Einstein auch nie einen Nobelpreis für die Relativitätstheorien erhalten! Weiters wurde im Rahmen der SRT die Äquivalenz von Energie und Masse gemäß \(E = m \cdot {c^2}\) hergeleitet.

Allgemeine Relativitätstheorie (ART - 1915)

Beinhaltet vollständig die SRT und geht weit darüber hinaus und zwar durch die Betrachtung von gegeneinander beschleunigten Bezugssysteme und der Einbeziehung der Gravitation unter relativistischen Gesichtspunkten. Betrachtet wird die 4-dimensionale Raumzeit (x,y,z und t). Masse krümmt alle 4 Dimensionen der Raumzeit. Körper sowie Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten, die den kürzesten Weg in dieser gekrümmten Raumzeit darstellen. Die Formeln der ART basieren mathematisch auf Tensoren. In der ART sind Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung relativ, nur die Lichtgeschwindigkeit ist endlich und absolut. Die Gültigkeit der ART wurde durch die Lichtablenkung von Sternenlicht durch die Sonne nachgewiesen, durch die Laufzeitverzögerung von Radarsignalen, durch die Frequenzänderung von Licht zufolge des Gravitationsfeldes der Erde, durch den Nachweis von Gravitationswellen, die durch den Zusammenprall von schwarzen Löchern entstanden sind und die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.

Grundidee der Allgemeinen Relativitätstheorie

Körper und Lichtstrahlen bewegen sich entlang von Geodäten in einer gekrümmten Raumzeit.  Einstein beschreibt die Gravitation nicht mehr als Kraft (wie bei Newton), sondern als geometrische Eigenschaft von Raum und Zeit. Materie, die keiner Kraft ausgesetzt ist, bewegt sich durch die Raumzeit entlang von Geodäten. Die Bewegung entlang der Geodäten nehmen wir als Gravitation wahr.

Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut auf folgenden Prinzipien auf

• Starkes Äquivalenzprinzip, demzufolge „träge Masse“ und „schwere Masse“ äquivalent sind bzw. es keinen Unterschied zwischen Schwerkraft und Kräften zufolge von Beschleunigung gibt
• Kovarianzprinzip, demzufolge in allen Bezugssystemen dieselben physikalischen Gesetze gelten. Die Anwesenheit von Materie oder Energie verursacht eine Krümmung der Raumzeit. Raum, Zeit und Materie sind untrennbar mit einander verbunden.

Die ART gilt als grundsätzlich richtige aber unvollständige Theorie, ähnlich wie man Newtons Theorien als grundsätzlich richtig aber doch nur ein Spezialfall der SRT bzw. ART verstehen kann.

Unvollständigkeit der ART

Sosehr sich die Allgemeine Relativitätstheorie ART auch bewährt, so versagt sie doch an zwei wichtigen Stellen.

Einerseits an den beiden Krümmungssingularitäten der Astronomie, weil sie dort keine Verknüpfung zwischen Energie bzw. Masse und der Krümmung der Raumzeit machen kann:

1. Raumzeit-Singularität: Im Zentrum eines schwarzen Lochs
2. Urknall-Singularität: Im unendlich kleinen Universum zum Zeitpunkt des Urknalls

Hier treten mathematisch nicht definierte Zustände (Division durch Null) auf und führen zu den beiden genannten Singularitäten. 

Andererseits ist es bis heute noch nicht gelungen, die ART in Einklang mit der Quantenphysik zu bringen und eine Theorie der Quantengravitation zu schaffen.

1960 wurde Stephen Hawking berühmt für den Beweis der notwendigen Existenz von Singularitäten in der ART, und dass die ART daher unvollständig ist und in irgend einer Weise nachgebessert werden muss. Seit 1970 beschäftigte sich Stephen Hawking damit, diese Unzulänglichkeiten der ART durch eine Quantentheorie der Gravitation, also einer Quantisierung der Gravitation, die ohne Singularitäten auskommt, zu beheben.

Schwarzes Loch und Ereignishorizont

Bei einer fest vorgegebenen Entfernung r vom Schwerpunkt einer Masse M, wird die erforderliche Fluchtgeschwindigkeit v_F umso größer, je größer die Masse ist. Bei einer entsprechend sehr dichten Masse erreicht die Fluchtgeschwindigkeit v_F irgend wann die Lichtgeschwindigkeit c und auch Licht kann dann diese Masse nicht mehr verlassen.

\({v_F} = \sqrt {\dfrac{{2GM}}{r}} \)

Die Oberfläche, der Region, bei deren Durchschreiten auch ein Lichtstrahl auf Grund der Gravitation nicht mehr entkommen kann, wird als Ereignishorizont bezeichnet. Das Innere dieser Region selbst nennt man „Schwarzes Loch“.

\({r_S}\left( M \right) = \dfrac{{2 \cdot G}}{{{c^2}}} \cdot M\)

G = Gravitationskonstante

Bei einer fest vorgegebenen Masse M kann man jene Entfernung r_S berechnen, ab deren Unterschreitung selbst Licht nicht mehr die Masse M verlassen kann. Man nennt diese masseabhängige Entfernung den Schwarzschildradius r_S. Für eine Sonnenmasse beträgt er ca. 3km. Die Masse eines Schwarzen Lochs ist aber innerhalb vom Schwarzschildradius nicht gleichmäßig verteilt, sondern sie steckt in einer punktförmigen Raumzeit-Singularität, d.h. die Krümmung der Raumzeit und die Dichte sind unendlich. Dieser Zustand ist dichter als das Quark-Gluonen Plasma, dem dichtesten derzeit erklärbaren Aggregatzustand und es existieren weder Elektronen und Neutrinos noch Quarks und Gluonen.

Bei kollabierenden Sternen wird auf Grund des Actio und Reactio Prinzips immer die halbe Masse ins All abgestoßen, während die 2. Hälfte der Masse kollabiert. Die schwersten Sterne im Universum liegen aber bei unter 300 Sonnenmassen, wodurch sich der größte Schwarzschildradius eines stellaren Schwarzen Lochs zu 150 x 3 km = 450 km errechnet. Man muss also keine Sorge haben, einem solchen Schwarzen Loch je zu begegnen. In den Zentren von Galaxien finden sich aber Massekonzentrationen - supermassive Schwarze Löcher - mit mehreren Milliarden Sonnenmassen. Auch deren Schwarzschildradius hätte noch Platz innerhalb unseres Sonnensystems - er würde etwa bis zu den äußersten Planten reichen und wäre mit astronomischen Maßstäben verglichen sehr sehr sehr klein.