Sattelpunkt einer Funktion
Eine Funktion hat einen Sattelpunkt an der Stelle x0 , wenn dort die 1. und die 2. Ableitung Null sind. Ein Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit horizontaler Tangente.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Wichtige Funktionswerte im Zuge einer Kurvendiskussion
Im Rahmen von Kurvendiskussionen untersucht man verschiedene Eigenschaften von Funktionen
- Definitionsmenge, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- Polstellen und Lücken
- Verhalten im Unendlichen sowie Asymptotengleichungen
- Symmetrie sowie Periodizität
- Ableitungen f‘(x), f‘‘(x), f‘‘‘(x)
- Nullstellen f(x)=0 sowie Schnittpunkt mit der y-Achse f(0)
- Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte)
- Wendepunkte und Sattelpunkte
- Wendetangente
- Krümmungsverhalten und Monotonie
- Charakteristische Wertetabelle
- Graph der Funktion mit Wendetangente(n)
Extremstellen einer Funktion
Unter den Extremstellen einer Funktion versteht man deren Minimum bzw. Maximum. Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall stetig ist, dann hat sie darin auch ein Minimum und ein Maximum.
- notwendiges Kriterium: \(f'\left( x \right) = 0\)
- hinreichendes Kriterium: \(f'' \ne 0\)
- Minimum, wenn \(f'' > 0\)
- Maximum, wenn \(f'' < 0\)
Lokaler Extremwert
Ein lokaler Extremwert liegt vor, wenn es keinen kleineren / größeren Funktionswert in der unmittelbaren Nähe am Funktionsgraph gibt.
Absoluter bzw. globaler Extremwert
Ein absoluter Extremwert ist der kleinste / größte von allen lokalen Extremwerten.
Wendestelle einer Funktion
Im Wendepunkt bzw. an der Wendestelle ändert sich das Krümmungsverhalten vom Graphen der Funktion. Eine Linkskrümmung geht in eine Rechtskrümmung bzw. umgekehrt über. Nur im Wendepunkt schneidet eine Tangente an den Graph der Funktion diesen Graph. Ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente heißt Sattelpunkt
An einer Wendestelle / im Wendepunkt gilt: \(f''\left( {{x_{WP}}} \right) = 0{\text{ sowie }}f'''\left( {{x_{WP}}} \right) \ne 0\)
- Ein Polynom vom \({\text{Grad }} \geqslant 3\) muss mindestens eine Wendestelle haben.
- Ein Polynom n-ten Grades kann maximal n-2 Wendestellen haben.
Monotonie von Funktionen
Steigt/fällt der Graph einer Funktion an jeder Stelle, so heißt die Funktion streng monoton steigend / fallend. Gibt es auch Stellen, an denen die Funktion weder steigt noch fällt, also konstant bleibt und daher parallel zur x-Achse verläuft, so fällt das Word „streng“ weg und die Funktion ist „nur“ monoton steigend / fallend. Aussagen betreffend Monotonie in bestimmten Intervalle der Funktion leitet man daraus ab, ob dort die ersten Ableitung \(f'\left( x \right)\) größer oder kleiner Null ist.
\(\eqalign{ & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton wachsend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right){\text{ streng monoton fallend}} \cr & \forall {x_1},{x_2} \in {D_f}{\text{ mit }}{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right){\text{ monoton fallend}} \cr}\)
Definitionslücke
Unter einer Definitionslücke versteht man einzelne Punkte einer Funktion, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. (Nullstellen des Nenners)
Dort ist die Funktion also nicht definiert. Entweder nähert sich der Graph dort einer senkrechten Asymptote an, dann liegt eine Polstelle vor, oder es liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Eine hebbare Definitionslücke liegt dann vor, wenn die Vielfachheit der Nullstellen im Zähler größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstellen im Nenner sind. Dann lässt sich die Nullstelle durch Kürzen entfernen.
Obige Illustration zeigt eine Funktion die an der Stelle x=1 nicht definiert ist und in deren Definitionsbereich somit an dieser Stelle eine Lücke vorliegt. Durch Kürzen kann man an der Stelle x=1 dem Definitionsbereich den Wert "2" zuordnen. Der Definitionsbereich ist somit \({D_f} = {\Bbb R}\), die Lücke ist geschlossen, man spricht von einer "hebbaren Definitionslücke"
Polstelle
Eine Polstelle ist eine Definitionslücke einer Funktion, an der sich die Funktionswerte asymptotisch einer senkrechten Geraden annähern, diese aber nie erreichen. Die gebrochenrationale Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\) besitzt an der Stelle x0 eine Polstelle, wenn gilt: \(p\left( {x = {x_0}} \right) \ne 0{\text{ und }}q\left( {x = {x_0}} \right) = 0\). Die Polstellen findet man, indem man die Nullstellen des Terms in Nenner bestimmt.
- Bei Polstellen mit Vorzeichenwechsel strebt die Funktion auf einer Seite nach + Unendlich während sie auf der anderen Seite nach - Unendlich strebt.
- Bei Polstellen ohne Vorzeichenwechsel streben beide Seiten entweder nach + oder nach - Unendlich
Obige Illustration zeigt den Graph der Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\)
- mit der x-Achse und der y-Achse als Asymptote
- der an der Stelle x=0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist
Links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert
An einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel verhält sich der Graph der Funktion von links bzw. von rechts betrachtet unterschiedlich.
- Der linksseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von links kommend annähert.
- Der rechtsseitige Grenzwert ist jener Funktionswert f(x) den man erhält, wenn man sich einem bestimmten Funktionsargument x0, entlang vom Funktionsgraphen von rechts kommend annähert.
- Ist die Funktion an der Stelle x0 stetig, dann stimmen der links- und der rechtsseitige Grenzwert überein.
- Aus dem Inneren des Definitionsbereichs betrachtet kann man daher einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert ermitteln.
In GeoGebra gibt es dafür die Befehle- LinksseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
- RechtsseitigerGrenzwert (Funktion, Polstelle)
Asymptote
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion unbegrenzt annähert, sie aber nie erreicht.
Dabei unterscheidet man zwischen senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten. Kurven, die sich dem Graph einer anderen Funktion zunehmend annähern, bezeichnet man als asymptotische Kurven.
- Zählergrad = Höchste Potenz im Zähler einer Funktion
- Nennergrad = Höchste Potenz im Nenner einer Funktion
- Zählergrad < Nennergrad: die Funktion hat die x-Achse als Asymptote
- Zählergrad = Nennergrad: die Asymptote verläuft horizontal
- Zählergrad = Nennergrad + 1: die Asymptote verläuft schief
- Zählergrad > Nennergrad+1: zu der Funktion gibt es eine asymptotische Kurve
- Senkrechte (=vertikale) Asymptoten sind dort, wo sich die Polstellen (Definitionslücken) einer Funktion befinden und in deren Nähe die Funktionswerte gegen unendlich streben. Die senkrechten Asymptoten finden sich dort wo der Nenner Nullstellen hat, die aber keine Nullstellen vom Zähler sind.
Bei obenstehender Funktion gilt: Zählergrad = 2 = Nennergrad und daher hat die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\) die horizontal verlaufende Asymptote y=1; An den Stellen x=-1 bzw. x=1 hat die Funktion zudem Polstellen mit Vorzeichenwechsel
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Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
F(x) | f(x) | N | E | W | ||
f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
Aufgaben
Aufgabe 224
Kurvendiskussion
Führe für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} - 9}}\)
- 1. Teilaufgabe: Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit
- 2. Teilaufgabe: Polstellen
- 3. Teilaufgabe: Lücken
- 4. Teilaufgabe: Verhalten im Unendlichen
- 5. Teilaufgabe: Gleichung der Asymptoten
- 6. Teilaufgabe: Symmetrien
- 7. Teilaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- 8. Teilaufgabe: Berechne die 1. Ableitung
- 9. Teilaufgabe: Berechne die 2. Ableitung
- 10. Teilaufgabe: Berechne die 3. Ableitung
- 11. Teilaufgabe: Berechne die Nullstellen
- 12. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte
- 13. Teilaufgabe: Berechne die Extremstellen - untersuche auf Wende- und Sattelpunkte
- 14. Teilaufgabe: Bestimme die Wendetangente in der Hauptform und in der Punkt-Richtungsform
- 15. Teilaufgabe: Erstelle eine Wertetabelle
- 16. Teilaufgabe: Skizziere die Funktion
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Aufgabe 6021
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Der Graph Gf einer in \({\Bbb R}\) definierten Funktion
\(f:x \mapsto a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3}{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)
Punkt O(0 | 0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
W(1| -1) ist ein weiterer Wendepunkt von Gf .
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .
Die Gerade g schneidet Gf in den Punkten W und (2 | 0).
3. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.
4. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.
Gf und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.
5. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.
Aufgabe 1008
AHS - 1_008 & Lehrstoff: AN 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion und Stammfunktion
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Zeichnen Sie den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f in die Abbildung ein!
Aufgabe 1271
AHS - 1_271 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion mit Terrassenpunkt
Ein Terrassen- bzw. Sattelpunkt an einer Stelle x0 liegt dann vor, wenn \(f'\left( {{x_0}} \right) = f''\left( {{x_0}} \right)\) gilt. Eine Polynomfunktion f vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S = (0|0). Die nachstehenden fünf Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen, wobei alle Extrem- und Wendepunkte in den Darstellungen enthalten sind.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen der Funktion f darstellen können!