Technologiematrix

Bedarfsmatrizen

Verflechtungsmatrix

Die Verflechtungs- oder Technologie- oder Input-Outputmatrix zeigt die Abhängigkeit von Produkten und Ressourcen.

Für den 1. Zwischenschritt eines zweistufigen Produktionsprozesses stellt man den 1. Teil der Verflechtungsmatrix auf, indem man die Rohstoffe in die Zeilen und die Zwischenprodukte in die Spalten schreibt.  
Leseprobe: „Für das Zwischenprodukt Z₁ werden x₁ Einheiten vom Rohstoff R₁ benötigt.

\({V_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}\\ {{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}} \end{array}} \right)\)

Für den 2. Zwischenschritt eines zweistufigen Produktionsprozesses stellt man den 2. Teil der Verflechtungsmatrix auf, indem man die Zwischenprodukte in die Zeilen und die Endprodukte in die Spalten schreibt.

Leseprobe: „Für das Endprodukt E₁ werden x₁₂ Einheiten vom Zwischenprodukt Z₁ benötigt.

\({V_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{12}}}&{{x_{11}}}\\ {{x_{10}}}&{{x_9}}\\ {{x_8}}&{{x_7}} \end{array}} \right)\)

Somit ergibt sich die Verflechtungsmatrix, welche die Abhängigkeit der Endprodukte von den Rohstoffen angibt - ohne die Zwischenprodukte explizit auszuweisen - durch Matrizenmultiplikation wie folgt:

• Anmerkung: Damit man überhaupt 2 Matrizen mit einander multiplizieren kann, muss die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich groß wie die Zeilenanzahl der 2. Matrix sein. Das Produkt der beiden Matrizen ist wieder eine Matrix, die so viele Zeilen wie die 1. Matrix und so viele Spalten wie die 2. Matrix hat.
  Hier sind das jeweils die Zwischenprodukte, daher ist die Verflechtungsmatrix eine quadratische Matrix.
• Rechenregel: Das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der resultierenden Verflechtungsmatrix errechnet sich aus der Summe aller Produkte der i-ten Zeile von Matrix A und der j-ten Spalte von Matrix B.

\(\begin{array}{l} V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}\\ {{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{12}}}&{{x_{11}}}\\ {{x_{10}}}&{{x_9}}\\ {{x_8}}&{{x_7}} \end{array}} \right) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{x_1} \cdot {x_{12}}} \right) + \left( {{x_2} \cdot {x_{10}}} \right) + \left( {{x_3} \cdot {x_8}} \right)}&{\left( {{x_1} \cdot {x_{11}}} \right) + \left( {{x_2} \cdot {x_9}} \right) + \left( {{x_3} \cdot {x_8}} \right)}\\ {\left( {{x_4} \cdot {x_{12}}} \right) + \left( {{x_5} \cdot {x_{10}}} \right) + \left( {{x_6} \cdot {x_8}} \right)}&{\left( {{x_4} \cdot {x_{11}}} \right) + \left( {{x_5} \cdot {x_9}} \right) + \left( {{x_6} \cdot {x_8}} \right)} \end{array}} \right) \end{array}\)

Verflechtungsdiagramm bzw. Gozintograph

Gozinot steht für „goes into“. Der Gozintograph zeigt, wie viele  Rohstoffe man für ein Zwischenprodukt und wie viele Zwischenprodukte man für ein Endprodukt benötigt, indem eine Richtung angegeben ist.

Bild

Produktionsprozesse in Matrizenschreibweise

Für ein Leontief Modell *), einem Input-Output Modell für die Planung von Produktionsprozessen, errechnet man die notwendige Produktion x bei vorgegebener Nachfrage n und einer den Produktionsprozess abbildenden Technologiematrix A wie folgt.

\(\begin{array}{l} \overrightarrow x = V \cdot \overrightarrow x + \overrightarrow n \\ \overrightarrow x = {\left( {E - V} \right)^{ - 1}} \cdot \overrightarrow n \end{array}\)