Vereinigungsmenge
Alle Elemente, die zu A oder B gehören.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Verknüpfungen zwischen Mengen
Zwei Mengen A und B können durch Mengenoperationen mit einenander verknüpft werden.
- Vereinigungsmenge: Die Menge all jener Elemente die zur einen oder zur anderen oder zu beiden Mengen gehören
- Schnittmenge: Die Menge aller Elemente, die zu beiden Mengen gehören
- Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die zwar zur einen, nicht aber zur anderen Menge gehören
- Symmetrische Differenzmenge: Die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind
- Komplementärmenge: Die Elemente die zwar der Obermenge, nicht aber der darin enthaltenen Teilmenge angehören
- Produktmenge bzw. Kartesisches Produkt: Die Menge der geordneten Paare, wobei die 1. Komponente aus der Menge A und die 2. Komponente aus der Menge B stammt.
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge umfasst jene Elemente, die zur Menge A oder zur Menge B gehören. Die Vereinigung der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A oder x ist Element von B .
\(A \cup B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \vee x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: " Die Vereinigungsmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x entweder ein Element der Menge A ist oder ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cup B = \left\{ {1,2,3,4} \right\} \cr} \)
Schnittmenge
Die Schnittmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A und zur Menge B gehören. Der Durchschnitt der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge, für die gilt: x ist Element von A und x ist auch Element von B.
\(A \cap B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A und ein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A \cap B = \left\{ {2,3} \right\} \cr} \)
Differenzmenge
Die Differenzmenge umfasst jene Elemente die zur Menge A aber nicht zur Menge B gehören. Der Differenz der Mengen A und B, das sind alle jene x aus der Grundmenge für die gilt: x ist Element von A und x ist kein Element von B.
\(A\backslash B: = \left\{ {x \in G\left| {x \in A \wedge x \notin B} \right.} \right\}\)
Sprich: "Die Differenzmenge ist die Menge aller Elemente x aus einer gegebenen Grundmenge, für die gilt, dass x ein Element der Menge A, aber kein Element der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A{\text{\ }}B = \left\{ 1 \right\} \cr} \)
Symmetrische Differenzmenge
Die symmetriesche Differenzmenge umfasst jene Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
\(A\Delta B = \left\{ {\left( {x \in A \wedge x \notin B} \right) \vee \left( {x \notin A \wedge x \in B} \right)} \right\}: = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {B\backslash A} \right)\)
Sprich: "Die symmetrische Differenzmenge A Delta B enthält alle Elemente x, die Element der Menge A nicht aber der Menge B sind, sowie alle Elemente x die Element der Menge B nicht aber Element der Menge A sind". Oder anders formuliert: Die symmetrische Differenzmenge enthält die Menge aller Elemente, die ausschließlich in einer der beiden Mengen, nicht aber in beiden Mengen, enthalten sind.
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {2,3,4} \right\} \cr & A\Delta B = \left\{ {1,4} \right\} \cr} \)
Komplementäre Menge
Die komplementäre Menge A Querstrich enthält all jene Elemente von der Grundmenge G, die nicht in der Menge A enthalten sind. Die komplementäre Menge von A ist die Grundmenge, ohne den Elementen der Menge A.
\(\mathop A\limits^ - : = \left\{ {x \in B\left| {x \notin A} \right.} \right\} = B\backslash A\)
Sprich: "Die komplementäre Menge von A ist die Menge aller Elemente x, die Element von der Menge B sind, für die gilt, dass x kein Element von der Menge A ist"
Beispiel:
Die Grundmenge sei \({{\Bbb N}_0}\)
\(\eqalign{ & {{\Bbb N}_0} \cr & A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist gerade}}} \right.} \right\} \cr & \overline A = \left\{ {x \in {{\Bbb N}_0}\left| {{\text{x ist ungerade}}} \right.} \right\} \cr} \)
Produktmenge
Die Produktmenge bzw. das kartesische Produkt "A kreuz B" ist die Menge der geordneten Paare, wobei die erste Komponente aus der Menge A und die zweite Komponente aus der Menge B stammt.
\(A \times B = \left\{ {\left( {a,b} \right)\left| {a \in A \wedge b \in B} \right.} \right\}\)
Sprich: "A Kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare für die gilt dass a Element von der Menge A und b Element von der Menge B ist."
Beispiel:
\(\eqalign{ & A = \left\{ {1,2,3} \right\} \cr & B = \left\{ {s,t} \right\} \cr & A \times B = \left\{ {\left( {1,s} \right),\left( {1,t} \right),\left( {2,s} \right),\left( {2,t} \right),\left( {3,s} \right),\left( {3,t} \right)} \right\} \cr} \)
Ereignisse in Mengenschreibweise
- \(E \in \left( {A \cap B} \right)\): Schnittmenge von A und B
- Das Ereignis E muss der Menge A und B angehören
- \(E \in \left( {A \cup B} \right)\): Vereinigungsmenge von A und B
- Das Ereignis E muss der Menge A oder der Menge B oder beiden Mengen angehören
- \(E \in \overline A \): nicht A
- Das Ereignis E gehört nicht der Menge A an
- \(E \in \left( {A\backslash B} \right)\): A ohne B
- Das Ereignis E muss der Menge A angehören, darf aber nicht auch der Menge B angehören
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Bild
Mengenalgebra
Die Mengenalgebra beschäftigt sich mit den Rechenregeln, die für die Schnitt- bzw. Vereinigungsmenge zweier gegebener Mengen A und B gelten.
| Schnittmenge | Vereinigungsmenge | |
| Kommutativgesetz | \(A \cap B = B \cap A\) | \(A \cup B = B \cup A\) |
| Assoziativgesetz | \(\left( {A \cap B} \right) \cap C = A \cap \left( {B \cap C} \right)\) | \(\left( {A \cup B} \right) \cup C = A \cup \left( {B \cup C} \right)\) |
| Distributivgesetz | \(A \cap \left( {B \cup C} \right) = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)\) | \(A \cup \left( {B \cap C} \right) = \left( {A \cup B} \right) \cap \left( {A \cup C} \right)\) |
| Gesetz für das Komplement | \(A \cap \overline A = \left\{ {} \right\}\) | \(A \cup \overline A = M\) |
| Gesetz von De Morgan | \(\overline {\left( {A \cap B} \right)} = \overline A \cup \overline B \) | \(\overline {\left( {A \cup B} \right)} = \overline A \cap \overline B \) |
Aufgaben
Aufgabe 6026
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.
Diagramm 1:
Diagramm 2:
Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
- Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
- Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
- Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.
- Menge 1: \(M \cap S\)
- Menge 2: \(M \cup S\)
- Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
- Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
- Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
- Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
- p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
- p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.
3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel
4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit PS(M) .
5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.
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Bild
Aufgabe 1098
AHS - 1_098 & Lehrstoff: FA 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionswerte
Gegeben ist der Graph der Funktion f mit \(f\left( x \right) = \dfrac{9}{{{x^2}}}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie alle Werte, die x annehmen kann, wenn f(x) das Intervall [1; 9] durchläuft!
Aufgabe 257
Aufgaben zur Mengenlehre
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.
\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)
\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Durchschnittsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Vereinigungsmenge an
\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)
5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Schreibe die Differenzmenge an
\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)
Aufgabe 4123
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wiener Öffis - Aufgabe B_187
Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in der Europäischen Union.
Teil b
Im Folgenden ist ein kleiner Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes abgebildet:
Bild
Die Mengen der Haltestellen der Linien U1, U2 und U4, die in diesem Ausschnitt dargestellt sind, werden mit U1, U2 bzw. U4 bezeichnet.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie in jeden Teilbereich des nachstehenden Diagramms die entsprechende Anzahl an Haltestellen für den abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes ein.
[1 Punkt]
Bild
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Namen derjenigen Haltestellen an, die in der folgenden Menge liegen:
U1 \ (U2 ∪ U4)
[1 Punkt]
Aus dem abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes wird eine Haltestelle zufällig ausgewählt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Haltestelle handelt, die an mehr als einer U-Bahn-Linie liegt.
[1 Punkt]
Aufgabe 4448
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kinderlieder - Aufgabe B_511
Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.
- 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
- Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
- 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.
Teil c
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen aller Anzahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen.
[0 / 1 P.]
| G | Menge aller Kinder der Gruppe |
| A | Menge der Kinder, die das Kinderlied Aramsamsam kennen |
| B | Menge der Kinder, die das Kinderlied Backe, backe Kuchen kennen |
Bild
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente der Menge \(\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\)
[0 / 1 P.]
Mit den Kindern, denen beide Kinderlieder bekannt sind, singt die Pädagogin das bis dahin allen Kindern der Gruppe unbekannte Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star".
| T | Menge der Kinder, die das Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star" mit der Pädagogin singen |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [0 / 1 P.]
- Aussage 1: \(T \subseteq \left( {A \cup B} \right)\)
- Aussage 2: \(T \subseteq \left( {A \cap B} \right)\)
- Aussage 3: \(T \subseteq \left( {G\backslash B} \right)\)
- Aussage 4: \(T{\not \subseteq }\left( {B\backslash A} \right)\)
- Aussage 5: \(T{\not \subseteq }\left( {A\backslash B} \right)\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
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Bild
Aufgabe 4486
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kino - Aufgabe B_519
Teil a
Personen, die ein Kino besuchen, können Geld für 3 verschiedene Bereiche ausgeben:
- K … Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
- P … Menge der Personen, die für das Parkticket Geld ausgeben
- V … Menge der Personen, die für die Verpflegung Geld ausgeben
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ordnen Sie den beiden Mengen jeweils die zutreffende Beschreibung aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]
- Menge 1:
- Menge 2:
- Beschreibung A: Menge der Personen, die nur für das Kinoticket Geld ausgeben
- Beschreibung B: Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
- Beschreibung C: Menge der Personen, die sowohl für das Kinoticket als auch für das Parkticket Geld ausgeben
- Beschreibung D: Menge der Personen, die entweder für das Kinoticket oder für das Parkticket oder für beides Geld ausgeben
Die Ergebnisse einer Befragung sind im nachstehenden Venn-Diagramm dargestellt.
Bild
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahl 12 im obigen Venn-Diagramm im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie, wie viel Prozent der befragten Personen in der Menge K ∩ P ∩ V enthalten sind.
[0 / 1 P.]