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Lagemaße

    Formel

    Lagemaße

    Lagemaße sind Kennzahlen, die Auskunft zur zentralen Tendenz geben, wo auf einer vorgegebenen Skala sich die Werte einer Grundgesamtheit konzentrieren.


    Häufigkeitsverteilung

    Die Häufigkeitsverteilung ist eine Liste, die für jeder Merkmalsausprägung deren Häufigkeit in der Urliste angibt.

    Bespiel: Eine Münze wird 10 mal geworfen.
    Die Urliste sieht wie folgt aus: (Kopf, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf, Zahl, Kopf)

    Ausprägung absolute Häufigkeit relative Häufigkeit prozentuelle Häufigkeit
    Kopf 6 0.6 60%
    Zahl 4 0,4 40%

    absolute Häufigkeit Hi

    Die Summe der Striche in einer Strichliste je Merkmalsausprägung nennt man die absolute Häufigkeit. Absolute Häufigkeiten haben nur dann eine Aussagekraft, wenn man die Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten ebenfalls anführt. z.B.: 16 von 24 Schülern haben eine positive Schularbeitsnote erhalten. Addiert man alle einzelnen absoluten Häufigkeiten Hi, so erhält man die Gesamtzahl n aller Erhebungseinheiten bzw. den Umfang der Stichprobe.
    \(\begin{array}{l} H\left( {{x_1}} \right),H\left( {{x_2}} \right),...,H\left( {{x_k}} \right)\\ {H_1} + {H_2} + ... + {H_k} = n \end{array}\)


    relative Häufigkeit hi

    Die relative Häufigkeit hi bzw. der Anteil je Merkmalsausprägung an der Gesamtzahl aller Erhebungseinheiten erhält man, indem man die jeweilige absolute Häufigkeit Hi auf die Gesamtzahl n bezieht (also in Relation setzt, mathematisch durch Division). z.B.: 16 von 24 Schülern sind 0,67. Addiert man alle einzelnen relativen Häufigkeiten hi, so erhält man 1.
    \(\begin{array}{l} {h_1},{h_2},...,{h_k}\\ {h_i} = \dfrac{{{H_i}}}{n} \end{array}\)


    prozentuelle Häufigkeit hi

    Multipliziert man die relative Häufigkeit hi mit 100, so erhält man die prozentuelle Häufigkeit. Da die prozentuelle Häufigkeit die relative Häufigkeit in %-ausgedrückt ist, verwendet man ebenfalls hi als Formelzeichen. z.B.: 16 von 24 Schülern sind 67%. Addiert man alle einzelnen prozentuellen Häufigkeiten hi, so erhält man den Wert 100 (entsprechend 100% bei der relativen Häufigkeit).
    \({h_i}\left[ \% \right] = {h_i} \cdot 100\)


    Prozentpunkte

    Die Änderung der prozentuellen Häufigkeit einer Merkmalsausprägung bezeichnet man als Prozentpunkt.
    \(\Delta {h_i} = {h_{i,neu}} - {h_{i,alt}}\)

    Beispiel:
    Haben bei der nächsten Schularbeit 17 statt der 16 der 24 Schüler eine positive Note, so ist die

    • absolute Änderung 1 (Schüler),
    • bei der 1. Schularbeit hatten 67% (16 von 24) eine positive Note, bei der nächsten Schularbeit hatten 71% (17 von 24) eine positive Note
    • die prozentuelle Änderung beträgt 4 Prozentpunkte (nunmehr 71% statt bisher 67% prozentueller Häufigkeit)

    Durch die Angabe von 4 Prozentpunkten vermeidet damit eine Verwechslung zwischen der Änderung um 4% und der prozentuellen Häufigkeit von 71%. Beides sind ja Prozentwerte.


    Modus bzw. Modalwert m

    Der Modus bzw. Modalwert m ist jener Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe (in einer Stichprobe) vorkommt. Der Modalwert wird durch Abzählen der einzelnen gemessenen Werte xi der Datenreihe gebildet.


    Arithmetisches Mittel

    Das arithmetische Mittel bzw. der Durchschnitt, ist ein Lagemaß, welches sich aus der Summe aller erhobenen Werte, direkt aus der Urliste, dividiert durch die Anzahl der Werte errechnet.

    \(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

    \(\overline x\) ... gesprochen als "x quer"

    Der arithmetische Mittelwert, auch als Durchschnittswert bezeichnet, ist das wichtigste Zentralmaß in der beschreibenden Statistik. Man spricht von einem ungewichteten Mittelwert, da alle gemessenen Werte xi mit dem gleichen Gewicht 1/n in den Mittelwert eingehen. Die Summe aller Abweichungen der einzelnen Stichproben vom arithmetischen Mittelwert heben sich auf und sind daher Null. Große Ausreißer in der Stichprobe, asymmetrische oder mehrgipfelige Verteilungen beeinflussen das arithmetische Mittel sehr stark und führen zu nicht repräsentativen Aussagen.


    Getrimmtes arithmetisches Mittel

    Um den arithmetischen Mittelwert robuster zu machen, werden beim "getrimmten" arithmetischen Mittel die k kleinsten und die k größten Ausreißer nicht berücksichtigt, wobei: k << n/2 sein muss.

    \(\overline x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}\)

    Bei einer Trimmung um k=3 bzw. um 3% würden bei einem Datensatz mit n=100 Werte die 3 größten und die 3 kleinsten Werte gestrichen werden, womit in obiger Formel n=94 und x4, x5, ... x96, x97 gilt.


    Gewogenes bzw. gewichtetes arithmetisches Mittel

    Das gewogene arithmetische Mittel errechnet sich, wenn nicht mehr die Urliste sondern bereits die absoluten Häufigkeiten H(xi) bzw. die relativen Häufigkeiten hi der Ausprägung xi vorliegen.

    \(\eqalign{ & \overline x = {{{x_1} \cdot {H_1} + {x_2} \cdot {H_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m}} \over n} = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^m {{x_i} \cdot {H_i}} \cr & \overline x = {x_1} \cdot {h_1} + {x_2} \cdot {h_2} + ... + {x_m} \cdot {H_m} \cr}\)

    Die absolute Häufigkeit Hi gibt an, wie viele Elemente mit dem entsprechenden i-ten Merkmal gezählt wurden.


    Geometrisches Mittel

    Hat man die Beobachtungswerte aus der Urliste gegeben, so bildet man das Produkt der n Stichproben und zieht anschließend die n-te Wurzel. Man erhält das ungewogene geometrische Mittel

    \({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1} \cdot {x_2} \cdot ... \cdot {x_n}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\)


    Gewogenes geometrisches Mittel

    Hat man die absoluten H(xi) bzw. die relativen hi Häufigkeiten gegeben, so errechnet sich das gewogene geometrische Mittel wie folgt:

    \({\overline x _{geom}} = \sqrt[n]{{{x_1}^{{H_1}} \cdot {x_2}^{{H_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{N_n}}}} = \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{H_i}}} }}\)

    \({\overline x _{geom}} = {x_1}^{{h_1}} \cdot {x_2}^{{h_2}} \cdot ... \cdot {x_n}^{{h_n}} = \prod\limits_{i = 1}^m {{x_i}^{{h_i}}} \)


    Unterschied geometrisches und arithmetisches Mittel

    • Das geometrische Mittel errechnet sich über ein Produkt und die anschließende n-te Wurzel, während sich das arithmetische Mittel über eine Summe und durch anschließende Division durch n errechnet.
    • Das geometrische Mittel ist kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Es wird vorwiegend in den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften für Wachstumsfaktoren eingesetzt, etwa zur Berechnung vom Durchschnitt einer prozentuellen Verzinsung.
    • Das geometrische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander abhängig sind, etwa wie die Kapitalrendite über mehrere Jahre bei unterschiedlicher Verzinsung über die Jahre hinweg. Keiner der gemessenen Werte darf Null oder Negativ sein.
    • Das arithmetische Mittel verwendet man, wenn die Stichproben von einander unabhängig sind, etwa wie die Noten bei einer Prüfung von den verschiedenen Schülern der Klasse.

    Gleitender Mittelwert

    Das gleitende Mittel ist eine Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte.

    Beispiel: Es liegen die Einkommenswerte eines Angestellten je Monat für den Zeitraum von 10 Jahren vor. Der Angestellte will sein jeweiliges Monatsdurchschnittseinkommen kennen. Er berechnet immer die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. Dann streicht er das am weitesten in der Vergangenheit liegende Monat raus und ergänzt um das zeitlich nächst Monat und rechnet erneut die Gehaltssumme der letzen 12 Monate und dividiert diese durch 12. So erhält er den gleitenden Mittelwert seines Monatseinkommens während des Betrachtungszeitraums. Dieser Wert ist im Vergleich zum Monatseinkommen stark geglättet weil punktuelle Ereignisse (13. Gehalt, Prämie, Sabbatical ...) nicht stark durchschlagen. 


    Median

    Der Median bzw. Zentralwert med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.

    \(\eqalign{ & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = gerade}}}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2} \cr & {\text{me}}{{\text{d}}_{{\text{n = ungerade}}}} = {x_{\left( {\dfrac{{n + 1}}{2}} \right)}} \cr} \)


    Quartil, Perzentil und Quantil

    Quartile, Perzentile und Quantile sind Lagemaße einer Verteilung und werden in der beschreibenden Statistik verwendet.


    Quartil

    Quartilen teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 4 gleich große Viertel.

    • Das 1. Quartil q1 ist der Median der unteren Hälfte. Mindestens 25% der Werte sind kleiner oder gleich q1, zugleich sind mindestens 75% der Werte größer oder gleich q1
    • Das 2. Quartil q2=z ist der Median selbst. Mindestens 50% der Werte sind kleiner oder gleich q2, zugleich sind mindestens 50% der Werte größer oder gleich q2
    • Das 3. Quartil q3 ist der Median der oberen Hälfte. Mindestens 75% der Werte sind kleiner oder gleich q3, zugleich sind mindestens 25% der Werte größer oder gleich q3

    Illustration wie 3 Quartile die aufsteigenden Größen in 4 Viertel teilen.

    Viereck v1 Viereck v1: Polygon F, G, H, E Viereck v2 Viereck v2: Polygon G, I, J, H Viereck v3 Viereck v3: Polygon I, K, L, J Viereck v4 Viereck v4: Polygon K, M, N, L Strecke f Strecke f: Strecke F, G Strecke g Strecke g: Strecke G, H Strecke h Strecke h: Strecke H, E Strecke e Strecke e: Strecke E, F Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke G, I Strecke i Strecke i: Strecke I, J Strecke j Strecke j: Strecke J, H Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke H, G Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke I, K Strecke k Strecke k: Strecke K, L Strecke l Strecke l: Strecke L, J Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke J, I Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke K, M Strecke m Strecke m: Strecke M, N Strecke n Strecke n: Strecke N, L Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke L, K 25% Text1 = “25%” 25% Text2 = “25%” 25% Text3 = “25%” 25% Text4 = “25%” 1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil Text5 = “1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil” 1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil Text5 = “1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil” 1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil Text5 = “1. Quartil 25% Perzentil 25% Quantil” 2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil Text6 = “2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil” 2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil Text6 = “2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil” 2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil Text6 = “2. Quartil 50% Perzentil 50% Quantil” 3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil Text7 = “3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil” 3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil Text7 = “3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil” 3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil Text7 = “3. Quartil 75% Perzentil 75% Quantil” Median Text8 = “Median” unteres Quartil Text9 = “unteres Quartil” oberes Quartil Text10 = “oberes Quartil”


    Perzentil

    Perzentile teilen eine nach aufsteigender Größe geordnete Liste in 100 gleich große Teile. Perzentile entsprechen also den vertrauten Prozentangaben.


    Quantil

    Quantile teilen eine nach aufsteigender Größe geordneten Liste in zwei (ungleiche) Teile. Das p-Quantil besagt, dass mindestens p% der Werte kleiner oder gleich einem bestimmten Wert sind und (1-p)% der Werte größer oder gleich diesem Wert sind. Quartile und Perzentile sind "besondere" Quantile. 


    Beispiel:
    geordnete Liste von 10 Werten: 2,3,5,7,8,9,10,12,14,15

    • 1. Quartil: 2,5 von 10 Werten --> aufgerundet der 3. Wert --> q1=5
    • 2. Quantil; 5. plus 6. Wert halbe --> (8+9)/2=8,5 --> q2=8,5=Median
    • 3. Quartil: 7,5 von 10 Werte n --> aufgerundet der 8. Wert --> q3=12
    Lagemaße
    Stichprobe
    Absolute Häufigkeit
    Relative Häufigkeit
    Geometrisches Mittel
    Modalwert
    Modus
    Median
    prozentuelle Häufigkeit
    Prozentpunkte
    Arithmetisches Mittel
    Getrimmtes arithmetisches Mittel
    Gewogenes arithmetisches Mittel
    Gewogenes geometrische Mittel
    Quartil
    Quantile
    Perzentil
    gleitender Mittelwert

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    Lagemaße

    Lagemaße sind Kennzahlen, die Auskunft zur zentralen Tendenz geben, wo auf einer vorgegebenen Skala sich die Werte einer Grundgesamtheit konzentrieren.

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    Für die Datenerhebung zum Zweck von statistischen Aussagen ist eine Reihe von Begriffsbestimmungen zweckmäßig.

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    Streumaße

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    Listen und Skalen in der Stochastik

    Stochastische Daten werden mit Hilfe von Listen uns Skalen in eine strukturierte Form gebracht, welche die Weiterverarbeitung der Daten erleichtert.

    Aufgaben zu diesem Thema
    Lösungsweg

    Aufgabe 1354

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Statistische Kennzahlen

    Um Aussagen über die Daten einer statistischen Erhebung treffen zu können, gibt es bestimmte statistische Kennzahlen.


    Aufgabenstellung:
    Welche der folgenden statistischen Kennzahlen geben Auskunft darüber, wie stark die erhobenen Daten streuen? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Kennzahlen an!

    • Aussage 1: Median
    • Aussage 2: Spannweite
    • Aussage 3: Modus
    • Aussage 4: Empirische Varianz
    • Aussage 5: Arithmetisches Mittel
    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Statistische Kennzahlen - 1354. Aufgabe 1_354
    Streumaße
    Lagemaße
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 1067

    AHS - 1_067 & Lehrstoff: WS 1.1
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Känguru

    Die folgenden Grafiken enthalten Daten über die Teilnahme am Wettbewerb Känguru der Mathematik in Österreich seit 2005.

    • Känguru der Mathematik Österreich - gemeldete und gewertete TeilnehmerInnen: Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [C, D] Strecke i Strecke i: Strecke [D, E] Strecke j Strecke j: Strecke [E, F] Strecke k Strecke k: Strecke [G, H] Strecke l Strecke l: Strecke [H, I] Strecke m Strecke m: Strecke [I, J] Strecke n Strecke n: Strecke [J, K] Strecke p Strecke p: Strecke [K, L] Strecke q Strecke q: Strecke [M, N] Strecke s Strecke s: Strecke [O, P] Strecke t Strecke t: Strecke [Q, R] Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke [Q_1, R_1] 145.400 Text1 = "145.400" 161,761 Text2 = "161,761" 156.135 Text3 = "156.135" 179.736 Text4 = "179.736" 188.157 Text5 = "188.157" 179.686 Text6 = "179.686" 119.129 Text7 = "119.129" 135.032 Text8 = "135.032" 133.669 Text9 = "133.669" 155.412 Text10 = "155.412" 162.536 Text11 = "162.536" 155.072 Text12 = "155.072" gemeldet Text13 = "gemeldet" gewertet Text13_1 = "gewertet"
    • Känguru der Mathematik Österreich 2010 - gewertete TeilnehmerInnen nach Kategorie: Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Strecke f Strecke f: Strecke A, C Strecke g Strecke g: Strecke A, D Strecke h Strecke h: Strecke A, E Strecke i Strecke i: Strecke A, F Strecke j Strecke j: Strecke A, G Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” 13,501% Text11 = “13,501%” 13,801% Text6 = “13,801%” 6,734% Text8 = “6,734%” 31,345% Text10 = “31,345%” 34,618% Text12 = “34,618%”

    Quelle: http://kaenguru.diefenbach.at/ Grafiken adaptiert


    Aufgabenstellung:
    Berechnen Sie die Anzahl "Anz" der österreichischen Volksschüler/innen (Teilnehmer/innen der Kategorie Ecolier: 3. und 4. Schulstufe), die im Jahr 2010 tatsächlich gewertet wurden!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.1
    Absolute Häufigkeit
    Relative Häufigkeit
    Känguru - 1067. Aufgabe 1_067
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 4348

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
    Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Studienabschlüsse - Aufgabe B_450

    Teil c

    Folgendes Diagramm zeigt den Frauenanteil bei den Studienabschlüssen an öffentlichen Universitäten in Osterreich für zwei verschiedene Studienjahre:

    Studienabschlüsse an öffentlichen Universitäten nach Fachrichtungen 2003/04 und 2013/14

    Bild
    beispiel_4348_1
    1 insgesamt
    2 Veterinärmedizin
    3 Geisteswissenschaften
    4 individuelles Studium
    5 Naturwissenschaften
    6 Bildende und angewandte Kunst
    7 Musik
    8 Rechtswissenschaften
    9 Medizin
    10 Sozial- und Wirtschaftswissenschaften
    11 Bodenkultur
    12 Theologie
    13 Darstellende Kunst
    14 Technik
    15 Montanistik

     

    Quelle: https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/s…] (adaptiert).

     

    1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Lesen Sie aus dem obigen Diagramm ab, in welchen Fachrichtungen der Frauenanteil im Studienjahr 2013/14 geringer als im Studienjahr 2003/04 war.
    [1 Punkt]


    Jemand behauptet: „Im Bereich individuelles Studium ist der Frauenanteil in den dargestellten Studienjahren von 19,7 % auf 67,8 % gestiegen. Das heißt, dass 2013/14 viel mehr Frauen als 2003/04 ein individuelles Studium abgeschlossen haben.“

    2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

    Erklären Sie, warum diese Argumentation unzulässig ist. [1 Punkt]

    Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2019 - kostenlos vorgerechnet
    Studienabschlüsse - Aufgabe B_450
    Absolute Häufigkeit
    kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster BAfEP, BASOP, BRP
    Beschreibende Statistik
    Prozente und Promille
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 5.1
    BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 1.5
    Fragen oder Feedback
    Lösungsweg

    Aufgabe 1190

    AHS - 1_190 & Lehrstoff: WS 4.1
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

    Konfidenzintervall
    Von einer Stichprobe sind jeweils der Stichprobenumfang n und die relative Häufigkeit h eines beobachteten Merkmals gegeben.

    • Konfidenzintervall A: Strecke g Strecke g: Strecke [C, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, F] Punkt C C = (29, -3) Punkt C C = (29, -3) Punkt D D = (31, -3) Punkt D D = (31, -3) p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_1=0,29 Text1 = "p_1=0,29" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" p_2=0,31 Text2 = "p_2=0,31" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3"
    • Konfidenzintervall B: Strecke g Strecke g: Strecke [C, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, F] Punkt C C = (32, -3) Punkt C C = (32, -3) Punkt D D = (38, -3) Punkt D D = (38, -3) p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_1=0,32 Text1 = "p_1=0,32" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" p_2=0,38 Text2 = "p_2=0,38" h=0,35 Text3 = "h=0,35" h=0,35 Text3 = "h=0,35" h=0,35 Text3 = "h=0,35" h=0,35 Text3 = "h=0,35" h=0,35 Text3 = "h=0,35" h=0,35 Text3 = "h=0,35"
    • Konfidenzintervall C: Strecke g Strecke g: Strecke [C, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, F] Punkt C C = (36, -3) Punkt C C = (36, -3) Punkt D D = (44, -3) Punkt D D = (44, -3) p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_1=0,36 Text1 = "p_1=0,36" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" p_2=0,44 Text2 = "p_2=0,44" h=0,4 Text3 = "h=0,4" h=0,4 Text3 = "h=0,4" h=0,4 Text3 = "h=0,4" h=0,4 Text3 = "h=0,4" h=0,4 Text3 = "h=0,4"
    • Konfidenzintervall D: Strecke g Strecke g: Strecke [C, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, F] Punkt C C = (25, -3) Punkt C C = (25, -3) Punkt D D = (35, -3) Punkt D D = (35, -3) p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_1=0,25 Text1 = "p_1=0,25" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" p_2=0,35 Text2 = "p_2=0,35" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3"
    • Konfidenzintervall E: Strecke g Strecke g: Strecke [C, D] Strecke h Strecke h: Strecke [E, F] Punkt C C = (27, -3) Punkt C C = (27, -3) Punkt D D = (33, -3) Punkt D D = (33, -3) p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_1=0,27 Text1 = "p_1=0,27" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" p_2=0,33 Text2 = "p_2=0,33" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3" h=0,3 Text3 = "h=0,3"
    • Konfidenzintervall F: Strecke g Strecke g: Strecke C, D Strecke h Strecke h: Strecke E, F Punkt C C = (39, -3) Punkt C C = (39, -3) Punkt D D = (41, -3) Punkt D D = (41, -3) p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_1=0,39 Text1 = “p_1=0,39” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” p_2=0,41 Text2 = “p_2=0,41” h=0,4 Text3 = “h=0,4” h=0,4 Text3 = “h=0,4” h=0,4 Text3 = “h=0,4” h=0,4 Text3 = “h=0,4” h=0,4 Text3 = “h=0,4”

    Aufgabenstellung:
    Ordnen Sie jeder Stichprobe das richtige Konfidenzintervall (aus A bis F) für das vorgegebene Konfidenzniveau γ (Sicherheitsniveau) zu!

    Stichprobe S Deine Antwort

    1=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,60 \cr} \)

    2=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,95 \cr}\)

    3=\(\eqalign{ & n = 500 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,99 \cr}\)
    4=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,4 \cr & \gamma = 0,50 \cr}\)
    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 4.1 - nicht mehr prüfungsrelevant
    Konfidenzintervall
    Stichprobenumfang
    Relative Häufigkeit
    Konfidenzintervall - 1190. Aufgabe 1_190
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    Aufgabe 1314

    AHS - 1_314 & Lehrstoff: FA 1.4
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Anteil am Umsatz
    Ein Betrieb stellt unterschiedlich teure Produkte her und erstellt zur Veranschaulichung des Umsatzes die nachstehende Grafik.

    Polygonzug f Polygonzug f: Polygonzug A, I, J, K, L, M, N, O, B Polygonzug g Polygonzug g: Polygonzug B, P, Q, R, S, T, U, C Polygonzug h Polygonzug h: Polygonzug C, V, D, F, G, H, E

    Anhand des folgenden Beispiels wird erklärt, wie dieses Diagramm zu lesen ist. Aus dem Wertepaar (30|40) kann man schließen, dass die preisgünstigsten 30 % der verkauften Produkte 40 % vom Gesamtumsatz des Betriebs ausmachen, was umgekehrt bedeutet, dass die teuersten 70 % der verkauften Produkte 60 % vom Gesamtumsatz ausmachen.


    Aufgabenstellung
    Geben Sie für die beiden gefragten Produktanteile deren jeweiligen Anteil am Gesamtumsatz des Betriebs in % an!

    • Anteil der günstigsten 70 % an verkauften Produkten am Gesamtumsatz: ______ %
    • Anteil der teuersten 20 % an verkauften Produkten am Gesamtumsatz: ______ %
    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool FA 1.4
    Relative Häufigkeit
    Anteil am Umsatz - 1314. Aufgabe 1_314
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    Aufgabe 1067

    AHS - 1_067 & Lehrstoff: WS 1.1
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Känguru

    Die folgenden Grafiken enthalten Daten über die Teilnahme am Wettbewerb Känguru der Mathematik in Österreich seit 2005.

    • Känguru der Mathematik Österreich - gemeldete und gewertete TeilnehmerInnen: Strecke f Strecke f: Strecke [A, B] Strecke g Strecke g: Strecke [B, C] Strecke h Strecke h: Strecke [C, D] Strecke i Strecke i: Strecke [D, E] Strecke j Strecke j: Strecke [E, F] Strecke k Strecke k: Strecke [G, H] Strecke l Strecke l: Strecke [H, I] Strecke m Strecke m: Strecke [I, J] Strecke n Strecke n: Strecke [J, K] Strecke p Strecke p: Strecke [K, L] Strecke q Strecke q: Strecke [M, N] Strecke s Strecke s: Strecke [O, P] Strecke t Strecke t: Strecke [Q, R] Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke [Q_1, R_1] 145.400 Text1 = "145.400" 161,761 Text2 = "161,761" 156.135 Text3 = "156.135" 179.736 Text4 = "179.736" 188.157 Text5 = "188.157" 179.686 Text6 = "179.686" 119.129 Text7 = "119.129" 135.032 Text8 = "135.032" 133.669 Text9 = "133.669" 155.412 Text10 = "155.412" 162.536 Text11 = "162.536" 155.072 Text12 = "155.072" gemeldet Text13 = "gemeldet" gewertet Text13_1 = "gewertet"
    • Känguru der Mathematik Österreich 2010 - gewertete TeilnehmerInnen nach Kategorie: Kreis c Kreis c: Kreis durch B mit Mittelpunkt A Strecke f Strecke f: Strecke A, C Strecke g Strecke g: Strecke A, D Strecke h Strecke h: Strecke A, E Strecke i Strecke i: Strecke A, F Strecke j Strecke j: Strecke A, G Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Benjamin Text1 = “Benjamin” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Kadett Text3 = “Kadett” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Junior Text5 = “Junior” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Ecolier Text7 = “Ecolier” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” Student Text9 = “Student” 13,501% Text11 = “13,501%” 13,801% Text6 = “13,801%” 6,734% Text8 = “6,734%” 31,345% Text10 = “31,345%” 34,618% Text12 = “34,618%”

    Quelle: http://kaenguru.diefenbach.at/ Grafiken adaptiert


    Aufgabenstellung:
    Berechnen Sie die Anzahl "Anz" der österreichischen Volksschüler/innen (Teilnehmer/innen der Kategorie Ecolier: 3. und 4. Schulstufe), die im Jahr 2010 tatsächlich gewertet wurden!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.1
    Absolute Häufigkeit
    Relative Häufigkeit
    Känguru - 1067. Aufgabe 1_067
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    Lösungsweg

    Aufgabe 1704

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 19. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Freizeitverhalten von Jugendlichen

    Es wurden 400 Jugendliche zu ihrem Freizeitverhalten befragt. Von allen Befragten gaben 330 an, Mitglied in einem Sportverein zu sein, 146 gaben an, ein Instrument zu spielen, und 98 gaben an, sowohl Mitglied in einem Sportverein zu sein als auch ein Instrument zu spielen. Das Ergebnis dieser Befragung ist in der nachstehenden Tabelle eingetragen.

      spielt Instrument spielt kein Instrument gesamt
    Mitglied im Sportverein 98   330
    kein Mitglied im Sportverein      
    gesamt 146   400

     


    Aufgabenstellung:
    Geben Sie die relative Häufigkeit h der befragten Jugendlichen an, die weder Mitglied in einem Sportverein sind noch ein Instrument spielen!
    h =

    [0 / 1 Punkt]

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Freizeitverhalten von Jugendlichen - 1704. Aufgabe 1_704
    Relative Häufigkeit
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    Aufgabe 1450

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Median und Modus

    Gegeben ist eine ungeordnete Liste von 19 natürlichen Zahlen: 5, 15, 14, 2, 5, 13, 11, 9, 7, 16, 15, 9, 10, 14, 3, 14, 5, 15, 14


    Aufgabenstellung:
    Geben Sie den Median und den Modus dieser Liste an!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Modus
    Median und Modus - 1450. Aufgabe 1_450
    Median
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    Aufgabe 1162

    AHS - 1_162 & Lehrstoff: WS 1.3
    Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Geordnete Urliste
    9 Kinder wurden dahingehend befragt, wie viele Stunden sie am Wochenende fernsehen. Die nachstehende Tabelle gibt ihre Antworten wieder.

    Kind Fernsehstunden
    Fritz 2
    Susi 2
    Michael 3
    Martin 3
    Angelika 4
    Paula 5
    Max 5
    Hubert 5
    Lisa 8
    • Aussage 1: Der Median würde sich erhöhen, wenn Fritz um eine Stunde mehr fernsehen würde.
    • Aussage 2: Der Median ist kleiner als das arithmetische Mittel der Fernsehstunden.
    • Aussage 3: Die Spannweite der Fernsehstunden beträgt 3.
    • Aussage 4: Das arithmetische Mittel würde sich erhöhen, wenn Lisa anstelle von 8 Stunden 10 Stunden fernsehen würde.
    • Aussage 5: Der Modus ist 8.

    Aufgabenstellung:
    Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Urliste
    Median
    Spannweite
    Arithmetisches Mittel
    Modus
    Geordnete Urliste - 1162. Aufgabe 1_162
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    Aufgabe 1378

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Änderung statistischer Kennzahlen

    Gegeben ist eine geordnete Liste mit neun Werten a1, a2, ... , a9. Der Wert a1 wird um 5 vergrößert, der Wert a9 wird um 5 verkleinert, die restlichen Werte der Liste bleiben unverändert. Durch die Abänderung der beiden Werte a1 und a9 kann sich eine neue, nicht geordnete Liste ergeben.

    • Aussage 1: arithmetisches Mittel
    • Aussage 2: Median
    • Aussage 3: Modus
    • Aussage 4: Spannweite
    • Aussage 5: Standardabweichung

    Aufgabenstellung:
    Welche statistischen Kennzahlen der Liste werden durch die genannten Änderungen in keinem Fall verändert? Kreuzen Sie die entsprechende(n) statistische(n) Kennzahl(en) an!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Geordnete Urliste
    Arithmetisches Mittel
    Median
    Modus
    Spannweite
    Standardabweichung
    Änderung statistischer Kennzahlen - 1378. Aufgabe 1_378
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    Aufgabe 1426

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Statistische Kennzahlen

    Gegeben ist eine Liste mit n natürlichen Zahlen a1, a2, ... , an.

    • Aussage 1: arithmetisches Mittel
    • Aussage 2: Standardabweichung
    • Aussage 3: Spannweite
    • Aussage 4: Median
    • Aussage 5: Modus

    Aufgabenstellung:
    Welche statistischen Kennzahlen der Liste bleiben gleich, wenn jeder Wert der Liste um 1 erhöht wird? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.3
    Arithmetisches Mittel
    Standardabweichung
    Spannweite
    Median
    Modus
    Statistische Kennzahlen - 1426. Aufgabe 1_426
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    Aufgabe 1451

    Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
    Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 19. Aufgabe
    ​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


    Körpergrößen

    Die Körpergrößen der 450 Schüler/innen einer Schulstufe einer Gemeinde wurden in Zentimetern gemessen und deren Verteilung wurde in einem Kastenschaubild (Boxplot) grafisch dargestellt.

    Zahl a Zahl a: Boxplot[1, 0.5, 164, 164, 170, 178, 185] Zahl a Zahl a: Boxplot[1, 0.5, 164, 164, 170, 178, 185] Körpergröße in cm Text1 = "Körpergröße in cm"

    • Aussage 1: 60 % der Schuler/innen sind genau 172 cm groß.
    • Aussage 2: Mindestens eine Schülerin bzw. ein Schuler ist genau 185 cm groß.
    • Aussage 3: Höchstens 50 % der Schuler/innen sind kleiner als 170 cm.
    • Aussage 4: Mindestens 75 % der Schuler/innen sind größer als 178 cm.
    • Aussage 5: Höchstens 50 % der Schuler/innen sind mindestens 164 cm und höchstens 178 cm groß.

    Aufgabenstellung:
    Zur Interpretation dieses Kastenschaubilds werden verschiedene Aussagen getätigt. Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

    AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool WS 1.1
    Boxplot
    Körpergrößen - 1451. Aufgabe 1_451
    Median
    Drittes Quartil
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    • Autoren Dream-Team: Die Inhalte werden von Experten mit facheinschlägigem Universitätsabschluss erstellt. Zusätzlich erfolgte eine Recherche auf Vollständigkeit mittels künstlicher Intelligenz.
    • Probeschularbeiten: Lehrer können bei jeder Aufgabe einen Link kopieren, und durch simples "kopieren - einfügen" eine Probeschularbeit zusammenstellen und diese ihren Schülern elektronisch zum Selbststudium verfügbar machen.
    • Verständliche Erklärungen – schneller Lernerfolg – mehr Freizeit: Ehemalige Matura- bzw. Abiturbeispiele werden schriftlich vorgerechnet, damit Schüler den vollständigen Rechenweg 1:1 nachvollziehen können. Die ehemaligen Aufgaben sind sowohl chronologisch nach Prüfungstermin, als auch inhaltlich nach Lehrstoff sortiert, mittels anklickbarer Tags auffindbar.
    • Vernetzung von Lehrstoff und Rechenaufgaben über Tags: "Aufgaben passend zum Lernstoff" oder "Grundlagenwissen zur jeweiligen Aufgabe" sind mittels Tags leicht zu finden.
    • 1.000 Videos zum Rechenweg: Auch Dank der freundlichen Genehmigung des Bundesministeriums für Bildung, binden wir direkt in den Lösungsweg von Maturabeispielen, videobasierte Erklärungen ein.
    • 4.000 MINT-Fachbegriffe: Nutzer können gezielt nach Fachbegriffen suchen. Bei mehreren Treffern erfolgt die Auswahl über stichwortartige Zusammenfassungen.
    • 2.000 GeoGebra Illustrationen: Alle unsere rd. 2.000 selbst erstellten vektorbasierten Grafiken wurden mit GeoGebra erstellt. Zusätzlich verlinken wir auf anschauliche interaktive Illustrationen auf der GeoGebra Lernplattform.
    • Exzellent lesbare MINT-Inhalte: Die Inhalte sind vektorbasiert und daher auf allen Geräten, vom Smartphone bis zum XXL-Screen, gestochen scharf lesbar. Das gilt besonders für komplexe Formeln und anschauliche Illustrationen.
    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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