Arbeiten mit GeoGebra

Geogebra Normal (Befehl)

• Normal[ <Erwartungswert>, <Standardabweichung>, <Wert der Variablen x₁> ]
• \(P\left( {X \le x_1} \right)\) einer \({\rm{N}}\left( {\mu ,\sigma } \right)\) Normalverteilten Zufallsvariablen X berechnen
• Mit dem Befehl Normal[μ, σ , x₁] berechnet man die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass eine Zufallsvariable X kleiner oder gleich einem Grenzwert x₁ ist. Das Resultat entspricht der Fläche unter der Gauß'schen Glockenkurve, welche links von x₁ liegt.

Beispiel

• Gegeben:
  • ​Erwartungswert μ = 12,000 mm
  • Standardabweichung σ = 0,06 mm
  • untere Grenze x₁ = 11,96 mm
  • obere Grenze x₂ = 12,04 mm
• Gesucht:
  • Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X zwischen einer unteren x₁ und einer oberen x₂ Grenze liegt
  • ​\(P\left( {{x_1} \le X \le {x_2}} \right)\) einer \({\rm{N}}\left( {\mu ,\sigma } \right)\) -verteilten Zufallsvariablen X berechnen
• Ausführung:
  • Syntax: Normal[μ, σ , x₂] - Normal[μ, σ , x₁]
  • Geogebra Algebra-Ansicht: Normal[12, 0.06, 12.04] - Normal[12, 0.06, 11.96] → (0,7475 - 0,2525 =) 0,495
• Lösung
  • Die Wahrscheinlichkeit, daß ein μ = 12,000 mm und σ = 0,06 mm verteilter Zufallswert zwischen x₁ = 11,96 mm und x₂ = 12,04 mm liegt, beträgt 49,5%
• Grafische Darstellung
  • Der Befehl mit der Syntax: Normal[μ, σ, x, false] erzeugt eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung f
    • Geogebra Grafik-Ansicht: Normal(12, 0.06, x, false)
  • ​Der Befehlt mit der Syntax: Integral(<Funktion>, <untere Grenze>, <obere Grenze>) berechnet das bestimmte Integral der Funktion f zwischen unterer und oberer Grenze und schattiert die Fläche über die integriert wurde.
    • Geogebra Grafik-Ansicht: Integral(f, 11.96, 12.04)

Geogebra InversNormal (Befehl)

• InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
• Mit dem Befehl InversNormal (μ, σ , P] berechnet man jene Zufallsvariable X, welche die gegebene Wahrscheinlichket P als Fläche unter der Gauß'schen Glockenkurve besitzt.

Beispiel

• Gegeben:
  • Erwartungswert μ = 1005 mm
  • Standardabweichung σ = 5 mm
  • Fläche = 0,025 bzw. Wahrscheinlichkeit P = 2,5%
• Gesucht:
  • Zufallsvarialble X
• Ausführung:
  • Syntax: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
  • Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[1005, 5, 0.025] → X=x₁ = 995,25
• Lösung
  • Für die Zufallsvariable X=x₁ = 999,25 mm beträgt bei einer μ = 1005 mm und σ = 5 mm verteilten Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit 2,5% bzw. die Fläche unter der Gauß'schen Glockenkurve 0,025

Beispiel

• Gegeben:
  • Erwartungswert μ = 1005 mm
  • Standardabweichung σ = 5 mm
  • Fläche = 0,95 bzw. Wahrscheinlichkeit P = 95%
• Gesucht:
  • Ermitteln Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem 95 % der Zufallswerte liegen.
• Ausfühung:
  • untere Grenze: Fläche links von der unteren Grenze: \(\dfrac{{1 - 0,95}}{2} = 0,025\)
    • Syntax: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
    • Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[1005, 5, 0.025] → x₁ = 995,25
  • obere Grenze: Fläche links von der oberen Grenze: \(\dfrac{{1 - 0,95}}{2} + 0,95 = 0,975\)
    • Syntax: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
    • Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[1005, 5, 0.975] → x₂ = 1014,75
• Lösung:
  • Das symmetrische Intervall, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit P=95% alle Zuvallsvariablen X einer μ = 1005 mm und σ = 5 mm verteilten Normalverteilung liegen, lautet: [995,2; 1 014,8]
• Grafische Darstellung

  • Der Befehl mit der Syntax: Normal[μ, σ, x, false] erzeugt eine Darstellung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung f

    • Geogebra Grafik-Ansicht: Normal(1005, 5, x, false)

  • ​Der Befehlt mit der Syntax: Integral(<Funktion>, <untere Grenze>, <obere Grenze>) berechnet das bestimmte Integral der Funktion f zwischen unterer und oberer Grenze und schattiert die Fläche über die integriert wurde.

    • Geogebra Grafik-Ansicht: Integral(f, 995.25, 1014.75)

Geogebra Binomial (Befehl)

• Binomial( <Anzahl der Versuche>, <Erfolgswahrscheinlichkeit> )
• Mit dem Befehl Binomial (n, p) erzeugt man in der Grafik-Ansicht ein Balkendiagramm.
  • Der Parameter n steht dabei für die Anzahl der von einander unabhängigen Bernoulli-Versuche.
  • Der Parameter p steht für die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versucht

Beispiel

• Gegeben:
  • n=20
  • p=0,9
• Gesucht:
  • Balkendiagramm der Binomialverteilung
• Ausführung:
  • Syntax: Binomial( <Anzahl der Versuche>, <Erfolgswahrscheinlichkeit> )
  • Geogebra Grafik-Ansicht: Binomial(20, 0.9)
  • Anmerkung: x-Achse auf 0 .. 22 skalieren; y-Achse auf 0 .. 0,5 skalieren
• ​Lösung:
  • Wir erhalten ein Balkendiagramm der Binomialverteilung.
  • Der höchste Balken entspricht dem zugehörigen Erwartungswert \(E(x) = \mu \)

Beispiel

• Gegeben:
  • n=20
  • p=0,9
• Gesucht:
  • Erwartungswert \(E(x) = \mu \) der Binomialverteilung
  • Standardabweichung \(\sigma\) der Binomialverteilung
• Ausführung:
  • Geogebra → Ansicht → Wahrscheinlichkeitsrechner
  • Im Feld für die Verteilung von Normal auf → Binomial umstellen
  • n=20 und p=0.9 eingeben
  • Die Klammerausdrücke können unbeachtet bleiben
• ​Lösung:
  • Wir erhalten ein Balkendiagramm der Binomialverteilung.
  • Wir erhalten den zugehörigen Erwartungswert zu \(E(x) = \mu = 18\)
  • Wir erhalten die zugehörige Streuung zu \(\sigma = 1,3416\)

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