Die Cramer‘sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.
Cramersche Regel
Die cramersche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren, um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen bzw. um herauszufinden, dass es nicht eindeutig lösbar ist.
Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=2 Variable gemäß cramerscher Regel
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\(\eqalign{ & x = \dfrac{{{c_1}{b_2} - {c_2}{b_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr & y = \dfrac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr} \)
wobei:
\(\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) \ne 0;\)
Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=3 Variable gemäß cramerscher Regel bzw. Determinantenmethode
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, bei dem man das gegebene Gleichungssystem in Form einer Koeffizienten Matrix anschreibt und anschließend je Variable zwei Determinanten löst.
\(\eqalign{ & {a_1}.x + {b_1}.y + {c_1}.z = {d_1} \cr & {a_2}.x + {b_2}.y + {c_2}.z = {d_2} \cr & {a_3}.x + {b_3}.y + {c_3}.z = {d_3} \cr}\)
\(x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{d_2}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)
\(y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\ {{a_2}}&{{d_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D}\)
\(z = \dfrac{{{D_z}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\ {{a_2}}&{{b_3}}&{{d_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|;\)