Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die in IR definierte Funktion \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) . Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse und begründen Sie, dass Gf oberhalb der x-Achse verläuft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von Gf sowie das Verhalten von f für \(x \to - \infty {\text{ und }}x \to + \infty \)
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f‘‘ von f die Beziehung \(f''\left( x \right) = \frac{1}{4} \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) gilt. Weisen Sie nach, dass Gf linksgekrümmt ist.
Zur Kontrolle: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {{e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}} \right)\)
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf .
5. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an Gf im Punkt \(P\left( {2\left| {f\left( 2 \right)} \right.} \right)\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right),\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 9} \right)\)
6. Teilaufgabe f) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) in das Koordinatensystem aus der 5. Teilaufgabe e) ein.
7. Teilaufgabe g) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(\dfrac{1}{4} \cdot {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 1\) gilt.
8. Teilaufgabe h) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die als Kurvenlänge La;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b\) lässt sich mithilfe der Formel \({L_{a;b}} = \int\limits_a^b {\sqrt {1 - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\) berechnen. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L0;b des Graphen von f zwischen den Punkten \(\left( {a\left| {f\left( 0 \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {f\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit b > 0}}\)
Ergebnis: \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\)