Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene
Entweder liegt der Punkt in der Ebene oder außerhalb der Ebene, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene.
- \(P∈ε\)
- \(Q∉ε\)
Prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt
Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn er für alle Koordinatenachsen die Ebenengleichung erfüllt
Gegeben sei ein Punkt und eine Ebene
\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon :X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)
Wir prüfen ob der Punkt die Ebenegleichung erfüllt.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)
→ Aus den drei Gleichungen für die x, y und z Komponente kann man die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen
Normalabstand eines Punktes von einer Ebene
zunächst bestimmt man den Normalvektor zur Ebene
Merkregel: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)"
\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} \cdot {w_z} - {v_z} \cdot {w_y}}\\ {{v_z} \cdot {w_x} - {v_x} \cdot {w_z}}\\ {{v_x} \cdot {w_y} - {v_y} \cdot {w_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right)\)
dann schreiben wir die Normalform der Ebene an
\(\varepsilon {\rm{:}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_x}}\\ {{X_y}}\\ {{X_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0\)
bzw. die Hesse'sche Normalform der Ebene, für die wir lediglich normieren müssen
\(\varepsilon {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow x - \overrightarrow q } \right) = 0\)
Letztlich können wir den Abstand d wie folgt anschreiben
\(d\left( {P,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow {{n_0}} } \right|\)
mit \(\overrightarrow {{n_0}} = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)