Bestimmtes Integral - Bogenlänge
Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Bogenlänge von einem Graphen zu berechnen, der durch eine Funktionsgleichung gegeben ist.
Bestimmtes Integral - Bogenlänge einer ebenen Kurve
Es sei f(x) eine im Intervall [a,b] differenzierbare, also eine stetige Funktion. Dann ist s Bogenlänge der ebenen Kurve. Eine Kurve heißt rektifizierbar, wenn sie eine endliche Bogenlänge s hat.
\(s = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx}\)
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
Neben der Bogenlänge der Funktion f(x) im Intervall [a; b] kann man sich auch für den mittleren Abstand des Bogens von der x-Achse innerhalb dieses Intervalls interessieren. Ein Beispiel wäre die mittlere Flughöhe eines Balls beim Schuss vom Elfmeterpunkt in Richtung vom Tor.
\(m = \dfrac{1}{{b - a}} \cdot \int\limits_a^b {f\left( x \right)} \,\,dx\)