Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis
Eine Parallelschaltung von Impedanzen liegt vor, wenn alle Impedanzen an der gleichen Spannung U hängen.
Bei der Parallelschaltung von Impedanzen
- liegt an allen Impedanzen die gleiche Spannung an, dessen Spannungszeiger man in die x-Achse mit φ = 0° legt
- Der Strom am kapazitiven Blindwiderstand hat einen Phasenwinkel von φ = +90°
- Der Strom am induktiven Blindwiderstand hat den Phasenwinkel von φ = -90°
- Die Summenstrom an einer RLC Parallelschaltung ist bei +φ überwiegend kapazitiv, bei -φ überwiegend induktiv. Für einer charakteristischen Frequenz, der Resonanzfrequenz, heben sich die beiden Blindwiderstände auf und es wirkt einzig der ohmsche Anteil. Dann sind Strom und Spannung in Phase.
- ist der Gesamtadmittanz Y gleich der Summe der Einzeladmittanzen Y
\({\underline Y _{ges}} = {\underline Y _1} + {\underline Y _2} + ... + {\underline Y _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline Y }_i}} \) - errechnet sich die Gesamtimpedanz zu
\({\underline Z _{ges}} = \dfrac{1}{{{{\underline Y }_{ges}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\underline Z }_1}}} + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{\underline Z }_n}}}}}\) - ergibt die Summe aller Teilströme Ii den Summenstrom Iges
\({\underline I _{ges}} = {\underline I _1} + {\underline I _2} + ... + {\underline I _n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\underline I }_i}} \)
Parallelersatzschaltung bei gegebenem Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis
Hat man Strom, Spannung und Phasenwinkel im Wechselstromkreis gegeben, so errechnen sich der Wirk- und der Blindwiderstand einer Parallel-Ersatzschaltung wie folgt:
\(\eqalign{ & U,I,{\varphi _Z} \cr & {R_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \cos {\varphi _Z}}} \cr & {X_\parallel } = \dfrac{U}{{I \cdot \sin {\varphi _Z}}} \cr}\)
Stromteiler im Wechselstromkreis
Eine Parallelschaltung von Widerständen entspricht einem Stromteiler.Die Stromstärke im betrachteten k-ten Zweig ergibt sich aus dem Gesamtstrom mal Admittanz des k-ten Zweiges dividiert durch die Summe aller Admittanzen
\({\underline I _k} = {\underline I _{ges}} \cdot \dfrac{{{{\underline Y }_k}}}{{{{\underline Y }_1} + \underline {{Y_2} + ... + {{\underline Y }_n}} }}\)
für n=2
\({\underline I _1} = \underline I \cdot \dfrac{{{{\underline Z }_2}}}{{{{\underline Z }_1} + {{\underline Z }_2}}}\)
Umformung gemäß:
\(\eqalign{ & {I_1} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Y_1}}}{{{Y_1} + {y_2}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{Z_1}}}}}{{\dfrac{1}{{{Z_1}}} + \dfrac{1}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_1}}} = {I_{ges}} \cdot \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{Z_1}}}{{{Z_2}}}}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_2}}} = \cr & = {I_{ges}} \cdot \dfrac{{{Z_2}}}{{{Z_1} + {Z_2}}} \cr} \)