Aufgabe 6029
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
- die Ebene \(E:{x_1} + {x_3} = 2\)
- der Punkt \(A\left( {0\left| {\sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\)
- und die Gerade \(g:\overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right),\,\,\,\lambda \in {\Bbb R }\)
gegeben.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem hat.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit 2:20
Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Gerade g enthält.
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3 -Achse an.
4. Teilaufgabe a.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Veranschaulichen Sie die Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
Die x1x2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt A und verläuft entlang der Geraden g. Der Vektor
\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
5. Teilaufgabe b.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
6. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie im Modell die zugehörige Steigung dieses Abschnitts in Prozent.
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene E verläuft und den Mittelpunkt \(M\left( {0\left| {3 \cdot \sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\) hat. Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt B den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von B.
8. Teilaufgabe c.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis: \(B\left( { - 1\left| {2 \cdot \sqrt 2 \left| 3 \right.} \right.} \right)\)
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt C beschrieben.
9. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB] und den Viertelkreis von B nach C dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 m/s.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht.