Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt oder wenn es ein Skalar gibt, mit dem man die Richtungsvektoren des einen Vektors in die Richtungsvektoren des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann
Linearkombination von Vektoren
Unter der Linearkombination von Vektoren versteht man die Summe von mehreren Vektoren, wobei es sein kann, dass einzelne oder alle Vektoren auch noch mit einem Skalar multipliziert wurden.
\(\overrightarrow s = {\lambda _1} \cdot \overrightarrow {{a_1}} + {\lambda _2} \cdot \overrightarrow {{a_2}} + ... + {\lambda _n} \cdot \overrightarrow {{a_n}} \)
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt.
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn es einen Faktor \(\lambda\)(=Skalar) gibt, mit dem man die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\) des einen Vektors in die Richtungsvektoren des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x} = \lambda \cdot {a_x}}\\ {{b_y} = \lambda \cdot {a_y}} \end{array}} \right)\)
- Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in der selben Ebene liegen, also komplanar sind.
- Die drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren anschreiben lässt.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow {{v_3}} \)
- Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen und durch Vektoraddition eine geschlossene Vektorkette bilden. Bei einer Vektorkette fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen.
- Mehrere Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt, wobei mindestens einer der Lambda-Koeffizienten ungleich null sein muss.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} + {\lambda _3} \circ \overrightarrow {{v_3}} = \overrightarrow 0 \)
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn ihr Kreuzprodukt nicht den Nullvektor ergibt
- Mehrere Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt wobei alle Lambda-Koeffizienten gleich null sein müssen.