\(Var\left( X \right) = \lambda \)
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung, die dann Verwendung findet, wenn die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung. Die Zufallsvariable X der Poissonverteilung ist definiert als die Zahl der Erfolge bei einer sehr hohen Anzahl \(n \to \infty \left( { \ge 100} \right)\) an Bernoulli Experimenten, mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit \(p \to 0\).
1 Parameter
- \(\lambda\) ... Erwartungswert und zugleich Varianz \(E\left( X \right) = \lambda = Var\left( X \right)\)einer poissonverteilten Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{ - \lambda }} \cdot \dfrac{{{\lambda ^k}}}{{k!}}}&{k = 0,1,..}\\ 0&{{\rm{sonstige}}} \end{array}} \right.\)
Verteilungsfunktion der Poissonverteilung
\(F\left( X \right) = {e^{ - \lambda }}\sum\limits_{x = 0}^n {\dfrac{{{\lambda ^k}}}{{k!}}}\)
Erwartungswert der Poissonverteilung
\(E\left( X \right) = \lambda\)
Varianz der Poissonverteilung
\(Var\left( X \right) = \lambda \)