\(F\left( X \right) = {e^{ - \lambda }}\sum\limits_{x = 0}^n {\frac{{{\lambda ^k}}}{{k!}}}\)
Poissonverteilung
Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung, die dann Verwendung findet, wenn die Häufigkeit eines Ereignisses über eine gewisse Zeit betrachtet wird. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung. Die Zufallsvariable X der Poissonverteilung ist definiert als die Zahl der Erfolge bei einer sehr hohen Anzahl \(n \to \infty \left( { \ge 100} \right)\) an Bernoulli Experimenten, mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit \(p \to 0\).
1 Parameter
- \(\lambda\) ... Erwartungswert und zugleich Varianz \(E\left( X \right) = \lambda = Var\left( X \right)\)einer poissonverteilten Zufallsgröße
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{ - \lambda }} \cdot \dfrac{{{\lambda ^k}}}{{k!}}}&{k = 0,1,..}\\ 0&{{\rm{sonstige}}} \end{array}} \right.\)
Verteilungsfunktion der Poissonverteilung
\(F\left( X \right) = {e^{ - \lambda }}\sum\limits_{x = 0}^n {\dfrac{{{\lambda ^k}}}{{k!}}}\)
Erwartungswert der Poissonverteilung
\(E\left( X \right) = \lambda\)
Varianz der Poissonverteilung
\(Var\left( X \right) = \lambda \)