Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede ganze rationale Funktion y=pn(x) genau n reelle oder komplexe Nullstellen besitzt, wobei k-fache Nullstellen auch k-fach gezählt werden. Fallen mehrere Nullstellen zusammen, so spricht man von der Vielfachheit der Nullstelle bzw. von k-fachen Nullstellen. Sind alle Koeffizienten a des Polynoms reell, so sind die entsprechenden Nullstellen entweder reell und / oder paarweise konjugiert komplex.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)
Es handelt sich dabei um einen reinen Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln gibt es etwa für quadratische Gleichungen mit der abc Formel oder der pq Formel. Durch sogenannte Faktorisierung oder Abspaltung von Linearfaktoren (x-xi) wandelt man die Summendarstellung in eine Produktdarstellung um, bei der die Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der Funktion sofort ablesbar sind.
Bezeichnungen von einfachen Polynomen:
Grad | Bezeichnung | allgemeine Schreibweise |
0 | konstant | \({a_0}\) |
1 | linear | \({a_1} \cdot z + {a_0}\) |
2 | quadratisch | \({a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
3 | kubisch | \({a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
4 | quartisch | \({a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
5 | quintisch | \({a_5} \cdot {z^5} + {a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |