Aufgabe 1271
AHS - 1_271 & Lehrstoff: FA 4.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion mit Terrassenpunkt
Ein Terrassen- bzw. Sattelpunkt an einer Stelle x0 liegt dann vor, wenn \(f'\left( {{x_0}} \right) = f''\left( {{x_0}} \right)\) gilt. Eine Polynomfunktion f vierten Grades besitzt den Sattelpunkt S = (0|0). Die nachstehenden fünf Abbildungen zeigen Graphen von Polynomfunktionen, wobei alle Extrem- und Wendepunkte in den Darstellungen enthalten sind.
- Graph 1:
- Graph 2:
- Graph 3:
- Graph 4:
- Graph 5:
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Abbildungen an, die den Graphen der Funktion f darstellen können!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Polynomfunktionen n-ten Grades
\(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_2} \cdot {x^2} + {a_1} \cdot x + {a_0}\)
- Der Grad der Polynomfunktion „n“ entspricht der höchsten vorkommenden Potenz von der Variablen x. Alle Polynomfunktionen verlaufen durch den Punkt \(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)
- Nullstellen: Maximale Anzahl der Nullstellen = Grad der Funktion.
- Wenn „n“ ungerade ist, dann haben sie mindestens eine Lösung in \({\Bbb R}\)
- Extremstellen: Maximale Anzahl der Extemstellen = Grad der Funktion minus 1
- Wendestellen: Maximale Anzahl der Wendestellen = Grad der Funktion minus 2
- konstantes Glied: Das konstante Glied erhält man immer an der Stelle x=0. Daher kann man es aus einem Graph auf der y-Achse (\(P\left( {0\left| {{a_n}} \right.} \right)\)) direkt ablesen.
Lösungsweg
Eine Funktion 4. Grades hat also 4 Nullstellen, maximal 3 Extremstellen, maximal 2 Wendestellen oder Sattelpunkte.
- Graph 1: Diese Funktion hat 1 Sattelpunkt (zählt für 2 Extremstellen) und 1 Hochpunkt (zählt für 1 Extremstelle). Der Grad der Funktion ergibt sich somit zu 1+2+1=4. Graph 1 ist vom 4. Grad
- Graph 2: Diese Funktion hat 1 Sattelpunkt (zählt für 2 Extremstellen) und 2 Hochpunkte (zählen als 2 Extremstelle). Der Grad der Funktion ergibt sich somit zu 1+2+2=5. Graph 2 ist nicht vom 4. Grad
- Graph 3: Diese Funktion hat 1 Sattelpunkt (zählt für 2 Extremstellen) und 2 Tiefpunkte (zählen als 2 Extremstelle) und 1 Hochpunkt (zählt als 1 Extremstelle). Der Grad der Funktion ergibt sich somit zu 1+2+2+1=6. Graph 3 ist nicht vom 4. Grad
- Graph 4: Diese Funktion hat 1 Sattelpunkt (zählt für 2 Extremstellen) und 1 Tiefpunkt (zählt für 1 Extremstelle). Der Grad der Funktion ergibt sich somit zu 1+2+1=4. Graph 4 ist vom 4. Grad
- Graph 5: Diese Funktion hat 1 Sattelpunkt (zählt für 2 Extremstellen) und 2 Hochpunkte (zählen als 2 Extremstelle) und 1 Tiefpunkt (zählt als 1 Extremstelle). Der Grad der Funktion ergibt sich somit zu 1+2+2+1=6. Graph 5 ist nicht vom 4. Grad
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Graph 1: Richtig
- Graph 2: Falsch
- Graph 3: Falsch
- Graph 4: Richtig
- Graph 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Abbildungen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.