Kegel und Kegelstumpf

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Drehkegel

Ein Drehkegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe h. Bei einem geraden Kegel befindet sich dessen Spitze lotrecht über dem Mittelpunkt vom Kreis, der die Grundfläche bildet.

Mantellinie vom geraden Drehkegel

Die Mantellinie vom geraden Drehkegel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der Quadrate vom Kreisradius und der Kegelhöhe.

\(\eqalign{ & s = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {r^2}} \cr} \)

Volumen vom geraden Drehkegel

Das Volumen eines Drehkegels ist ein Drittel vom Volumen eines Zylinders, welcher die selbe kreisförmige Grundfläche und die selbe Höhe hat.

\(V = G \cdot \dfrac{h}{3} = {r^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{h}{3}\)

Oberfläche vom geraden Drehkegel

Die Oberfläche eines Drehkegels setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der kreissektorförmigen Mantelfläche zusammen

\(O = G + M = {r^2}\pi + r\pi s = r\pi (r + s)\)

Netz vom Drehkegel

Die Grundfläche vom Drehkegel ist ein Kreis. Die Mantelfläche lässt sich zu einem Kreissektor abwickeln.

Sektor c Sektor c: Kreissektor(E, H', H) Sektor c Sektor c: Kreissektor(E, H', H) Kreis d Kreis d: Kreis mit Mittelpunkt K und Radius 3 Kreis d Kreis d: Kreis mit Mittelpunkt K und Radius 3 Winkel α Winkel α: Winkel zwischen H', E, H Winkel α Winkel α: Winkel zwischen H', E, H Vektor u Vektor u: Vektor(K, I) Vektor u Vektor u: Vektor(K, I) Punkt E E = (4, 7) Punkt E E = (4, 7) Punkt K Punkt K: Punkt auf Kreis(I, 3) Punkt K Punkt K: Punkt auf Kreis(I, 3) S Text1 = “S” s Text2 = “s” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” $b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $ Text3 = “$b = U = 2 \cdot r \cdot \pi $” s Text4 = “s” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” $\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$ Text5 = “$\alpha = \frac{{b \cdot 180}}{{s \cdot \pi }}$” r Text6 = “r” Grundfläche Text7 = “Grundfläche” Mantelfläche Text8 = “Mantelfläche” U Text9 = “U”

Illustration vom Drehkegel

Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten P, Q durch R Bogen k Bogen k: Bogen[c, π, 2π] Strecke f Strecke f: Strecke [A, I] Strecke g Strecke g: Strecke [J, K] Strecke h Strecke h: Strecke [K, L] Strecke i Strecke i: Strecke [M, N] Strecke j Strecke j: Strecke [M, O] r text1 = "r" G text2 = "G" h text3 = "h" s text4 = "s" M Text1 = "M"

Drehkegel
Mantellinie gerader Drehkegel
Volumen gerader Drehkegel
Oberfläche gerader Drehkegel
Netz Drehkegel

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Kegelstumpf

Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat. Er besitzt also eine kreisförmige Grund- und Deck- bzw. Schnittfläche. Die Mantelfläche hat das Aussehen wie der Sektor von einem Kreisring.

O Oberfläche
G Grundfläche
D Deckfläche
M Mantel

Mantellinie vom Kegelstumpf

Die Höhe h entspricht der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grund- und der Deckfläche. Die Mantellinie s vom Kegelstumpf entspricht dessen Seitenlänge.

\(\eqalign{ & s = \sqrt {{{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2}} \cr} \)

Oberfläche vom Kegelstumpf

Die Oberfläche vom Kegelstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen.

\(O = G + D + M = r_1^2\pi + r_2^2\pi + ({r_1} + {r_2})\pi s\)

Volumen vom Kegelstumpf

Das Volumen vom Kegelstumpf kann aus den Radien der Grund- bzw. Deckfläche und der verbleibenden Höhe errechnet werden

\(V = \dfrac{{h\pi }}{3} \cdot (r_1^2 + {r_1}.{r_2} + r_2^2)\)

Illustration vom Kegelstumpf

Ellipse c Ellipse c: Ellipse mit Brennpunkten P, Q durch R Bogen k Bogen k: Bogen(c, π, 2π) Ellipse p Ellipse p: Ellipse mit Brennpunkten T, V durch W Ellipse p Ellipse p: Ellipse mit Brennpunkten T, V durch W Strecke m Strecke m: Strecke J, T Strecke n Strecke n: Strecke L, V Strecke q Strecke q: Strecke Z, U Strecke r Strecke r: Strecke B_1, A_1 Vektor u Vektor u: Vektor(C_1, D_1) Vektor u Vektor u: Vektor(C_1, D_1) Vektor v Vektor v: Vektor(G_1, H_1) Vektor v Vektor v: Vektor(G_1, H_1) r_1 text1 = “r_1” r_1 text1 = “r_1” G text2 = “G” h text3 = “h” s text4 = “s” M Text1 = “M” r_2 Text2 = “r_2” r_2 Text2 = “r_2”

Kegelstumpf
Mantellinie Kegelstumpf
Oberfläche Kegelstumpf
Volumen Kegelstumpf