Koordinatensysteme

Koordinatensysteme

Koordinatensysteme, auch Bezugssysteme genannt, dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben. Jeder Dimension entspricht eine Koordinatenachse. Rechnerisch einfach sind orthogonale Koordinatensysteme, bei denen die Koordinatenachsen im rechten Winkel zu einander stehen und sich im Ursprung des Koordinatensystems schneiden.

Koordinaten

Koordinaten sind Zahlenwerte in Bezug auf die Koordinatenachsen, die entweder einem Abstand vom Ursprung oder einem Winkel zwischen Richtungsvektor und einer Koordinatenachse entsprechen.

Transformation

Unter einer Transformation versteht man die Umrechnung von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem.

• Beispiele aus der Physik: Galilei-Transformation, Lorenz-Transformation
• Beispiele aus der Mathematik: Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, z-Transformation der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zweidimensionale Koordinatensysteme

Zweidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren zwei Dimensionen, die durch 2 Abstände oder 1 Abstand und 1 Winkel quantifiziert werden

• Kartesische Koordinaten: 2 Abstände
• Polarkoordinaten: 1 Abstand + 1 Winkel

Dreidimensionale Koordinatensysteme

Dreidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren drei Dimensionen, die durch 3 Abstände oder 2 Abstände und 1 Winkel oder 1 Abstand und 2 Winkel quantifiziert werden

• Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
• Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
• Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel

Mehrdimensionale Koordinatensysteme

In der Physik ist es zweckmäßig Hyperräume wie die Raum-Zeit (4 Dimensionen) einzuführen. In der allgemeinen Relativitätstheorie kommen auch 10-dimensionale Koordinatensysteme zum Einsatz und in der fraktalen Geometrie gibt es auch nicht-ganzzahlige Dimensionen.

Ganzzahlige Dimension

Der Begriff Dimension geht auf die euklidische Geometrie zurück und bedeutet soviel wie „Anzahl der Ausdehnungen“. Eine Dimension ist die Ausdehnung in eine eigene "Richtung / Qualität", die nicht bereits durch eine andere Dimension dargestellt werden kann. Regelmäßige Gebilde, mit „glatten“ Randlinien, wie Quadrate, Kreise, Quader oder Kugeln haben ganzzahlige Dimensionen.

• D=0: Punkt
• D=1: Länge, Begrenzungslinie einer Fläche
• D=2: Flächeninhalt
• D=3: Rauminhalt, Volumen
• D=4: Hyperräume, etwa die Raum-Zeit
• D=10: allgemeine Relativitätstheorie
• D=4+6: Stringtheorie mit vierdimensionaler Raumzeit und 6 eng aufgerollten Extradimensionen

Nicht ganzzahlige Dimension

Da die euklidische Geometrie unregelmäßige Formen wie Küstenlinien nicht abbilden kann, begann Mandelbrot über den Begriff der Dimension nachzuforschen. Er führte neben den ganzzahligen Dimensionen auch gebrochenzahlige, sogenannte fraktale Dimensionen ein. Die Küste ist nämlich ein Mittelding zwischen Linie und Fläche und hat eine nicht ganzzahlige Dimension. Die fraktale Dimension D lässt sich in Abhängigkeit von der Teileanzahl a und einem Skalierungsfaktor s berechnen.

\(D = - \dfrac{{\ln \left( {a\left( s \right)} \right)}}{{\ln \left( s \right)}}\)

Die Länge der Küstenlinie einer Insel hängt von der Größe des Maßstabs der Karte ab: Obwohl die Fläche einer Insel endlich groß ist, nähert sich die Länge der Küstenlinie bei beliebiger Verkleinerung des Maßstabs der Karte dem Wert Unendlich. An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit gewährleistet.

Kartesische Koordinaten

In einem kartesischen Koordinatensystem stehen die drei Koordinatenachsen jeweils im rechten Winkel, also orthogonal, auf einander. Die Position eines Punktes P(x|y|z) wird mit Hilfe von je einer x, y und z Koordinate beschrieben.

P(x|y|z)

Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems

Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems nimmt jede Koordinatenachse den Wert Null an.

Quadranten im kartesischen Koordinatensystem

In der Ebene stehen die beiden x- und y-Koordinatenachsen orthogonal (in 90°) aufeinander, sie teilen die gaußsche Ebene in 4 Quadranten, die vom rechten oberen Quadranten „1“ ausgehend gegen den Uhrzeigersinn, von 1..4 gezählt werden. Den Schnittpunkt der beiden Achsen nennt man den Ursprung 0 (0|0). Auf jeder Koordinatenachse ist ein Einheitsvektor e_x, e_y definiert.

Illustration der 4 Quadranten eines zweidimensionalen Koordinatensystems

Achsen im kartesischen Koordinatensystem

Die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems stehen orthogonal auf einander und werden nach den drei Richtungen in denen sie den dreidimensionalen Raum aufspannen benannt.

Abszisse

Die Abszisse ist die horizontale x-Achse (Definitionsbereich).

Ordinate

Die Ordinate ist die vertikale y-Achse (Wertebereich).

Applikate

Im 3 dimensionalen Raum kommt noch die räumliche z-Achse (Applikate, Kote) dazu.

Rechte Hand Regel im kartesischen Koordinatensystem

Bei der rechten Hand Regel veranschaulichen 3 jeweils um 90° gespreizte Finger der rechten Hand die 3 Achsen eines kartesischen Koordinatensystems

• Daumen = x;
• Zeigefinger = y;
• Mittelfinger = z

Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ) in der Ebene mit Hilfe von zwei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung und dem Winkel φ.

P(r, \(\varphi\))

Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinaten

Bei der Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi

\(\begin{array}{l} x = r \cdot \cos \varphi \\ y = r \cdot \sin \varphi \end{array}\)

Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten

Bei der Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate

\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr} \)

Beispiel: 
Rechne die kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinatenform um!

\(\eqalign{
& P(4\left| 3 \right.) \cr
& \cr
& r = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \cr
& \varphi = \arctan \left( {\frac{3}{4}} \right) = 36,87^\circ \cr
& \cr
& P = \left( {5\left| {36,87^\circ } \right.} \right) \cr} \)

Zylinderkoordinaten

Die Zylinderkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ,h) im Raum mit Hilfe von drei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ und der Höhe h. Es handelt sich dabei um die Erweiterung der Polarkoordinaten um die dritte Dimension, also die Höhe.

• dem Abstand r vom Koordinatenursprung
• dem Winkel φ in der Basisebene und
• der Höhe h des Punktes P über der Basisebene.

\(P\left( {r,\varphi ,h} \right)\)

Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinaten

Bei der Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen

\(\eqalign{ & x = r \cdot \cos \varphi \cr & y = r \cdot \sin \varphi \cr & z = h \cr}\)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten

Bei der Umrechnung von kartesischen auf Zylinderkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen

\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr & h = z \cr} \)

Kugelkoordinaten

Die Position eines Punktes im 3 dimensionalen Raum wird durch 3 Werte, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ in der xy-Ebene und dem Winkel ϑ in der rz-Ebene dargestellt.

\(P\left( {r,\varphi ,\vartheta } \right)\)

Es gelten dabei folgende Konventionen:

• r ist der Ortsvektor , also der Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P
• \(\varphi\) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \varphi \le 360^\circ \buildrel \wedge \over = 2 \cdot \pi \)
• \(\vartheta\) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \vartheta \le 180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi \)

Einordung der Bestimmungsgrößen in den drei gängigen dreidimensionalen Koordinatensystemen

• Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
• Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
• Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel

Breitenkreise in Kugelkoordinaten

Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, bei der Erde spricht man von nördlicher Breite oder südlicher Breite, es gibt 90+90=180 Breitenkreise. Dabei entsprechen 0° nördlicher und südlicher Breite dem Äquator. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r=konstant, ϑ=konstant,

Längenkreise in Kugelkoordinaten

Längenkreise, auch Meridiane genannt, verlaufen durch N und S-Pol, bei der Erde spricht man von westlicher Länge oder östlicher Länge, es gibt 90+90=180 Längenkreise. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r= konstant, φ = konstant,

Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten

Die Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten erfordert die Länge vom Ortsvektor und den Sinus bzw. Kosinus vom jeweiligen Winkel zwischen dem Ortsvektor und der x- bzw. z- Achse

\(\begin{array}{l}
x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\
z = r \cdot \cos \vartheta
\end{array}\)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfordert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und erfolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras

\(\begin{array}{l} r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y}}} \ge {\rm{0}}}\\ {2 \cdot \pi - \arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y} < 0}}} \end{array}} \right.\\ \vartheta = {\mathop{\rm arctan}\nolimits} \dfrac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \end{array}\)