Exponentialfunktion

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Exponentialfunktion

Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert. 

Allgemeine Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)

Einfachste Form einer Exponentialfunktion

\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)

wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)

  • a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
  • alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
  • Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
  • Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
  • Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
  • für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
    • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall

      • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
      • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
    • a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
    • 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
    • a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
    • a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
    • a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
    • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
  • \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
  • Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
  • Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
  • Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)

Exponentialfunktion mit Anfangswert c

\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)

\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)

  • c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
  • der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
    • 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
    • c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
    • c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
    • sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
  • für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
    • 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall

      • z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
      • z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
        • \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
        • \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
        • \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
        • \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
  • für dem Exponenten x gilt
    • sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
    • \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
  • c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
  • Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)

Wachstums- und Zerfallsprozesse

übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e

Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:

\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)

  • Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
    \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)

Funktion f f(x) = Wenn[0 < x < 5.2, 2^x] Strecke g Strecke g: Strecke [A, L] Strecke h Strecke h: Strecke [L, G] Strecke i Strecke i: Strecke [B, M] Strecke j Strecke j: Strecke [M, H] Strecke k Strecke k: Strecke [C, N] Strecke l Strecke l: Strecke [N, I] Strecke m Strecke m: Strecke [D, O] Strecke n Strecke n: Strecke [O, J] Strecke p Strecke p: Strecke [E, P] Strecke q Strecke q: Strecke [P, K] 1 Text1 = "1" 2 Text2 = "2" 3 Text3 = "3" 4 Text4 = "4" 5 Text5 = "5" Zeiteinheiten Text6 = "Zeiteinheiten" Stück Text7 = "Stück" 2*y_0 Text8 = "2*y_0" 2*y_0 Text8 = "2*y_0" 0 Text9 = "0" 4*y_0 Text11 = "4*y_0" 4*y_0 Text11 = "4*y_0" 8*y_0 Text12 = "8*y_0" 8*y_0 Text12 = "8*y_0" 16*y_0 Text13 = "16*y_0" 16*y_0 Text13 = "16*y_0" 32*y_0 Text14 = "32*y_0" 32*y_0 Text14 = "32*y_0"

  • Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
    \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)

Funktion f f(x) = Wenn[0 < x < 5.2, 2^(-x)] Strecke g Strecke g: Strecke [F, J] Strecke h Strecke h: Strecke [J, A] Strecke i Strecke i: Strecke [G, K] Strecke j Strecke j: Strecke [K, B] Strecke k Strecke k: Strecke [H, L] Strecke l Strecke l: Strecke [L, C] Strecke m Strecke m: Strecke [I, M] Strecke n Strecke n: Strecke [M, D] 1 Text1 = "1" 2 Text2 = "2" 3 Text3 = "3" 4 Text4 = "4" y_0 Text5 = "y_0" y_0 Text5 = "y_0" \frac{{{y_0}}}{2} Text6 = "\frac{{{y_0}}}{2}" \frac{{{y_0}}}{2} Text6 = "\frac{{{y_0}}}{2}" \frac{{{y_0}}}{2} Text6 = "\frac{{{y_0}}}{2}" \frac{{{y_0}}}{2} Text6 = "\frac{{{y_0}}}{2}" \frac{{{y_0}}}{4} Text7 = "\frac{{{y_0}}}{4}" \frac{{{y_0}}}{4} Text7 = "\frac{{{y_0}}}{4}" \frac{{{y_0}}}{4} Text7 = "\frac{{{y_0}}}{4}" \frac{{{y_0}}}{4} Text7 = "\frac{{{y_0}}}{4}" \frac{{{y_0}}}{8} Text8 = "\frac{{{y_0}}}{8}" \frac{{{y_0}}}{8} Text8 = "\frac{{{y_0}}}{8}" \frac{{{y_0}}}{8} Text8 = "\frac{{{y_0}}}{8}" \frac{{{y_0}}}{8} Text8 = "\frac{{{y_0}}}{8}" \frac{{{y_0}}}{16} Text9 = "\frac{{{y_0}}}{16}" \frac{{{y_0}}}{16} Text9 = "\frac{{{y_0}}}{16}" \frac{{{y_0}}}{16} Text9 = "\frac{{{y_0}}}{16}" \frac{{{y_0}}}{16} Text9 = "\frac{{{y_0}}}{16}" \frac{{{y_0}}}{16} Text9 = "\frac{{{y_0}}}{16}" Zeiteinheiten Text10 = "Zeiteinheiten" Stück Text11 = "Stück"

Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1

Funktion f f(x) = Wenn(-4 < x < 4, (1 / 3)^x) Funktion g g(x) = Wenn(-4 < x < 4, (1 / 2)^x) Funktion h h(x) = Wenn(-4 < x < 4, 3^x) Funktion i i(x) = Wenn(-4 < x < 4, 2^x) Funktion j j(x) = 1^x Funktion p p(x) = Wenn(-4 < x < 4, ℯ^x) c=1 a=2 Text1 = “c=1 a=2” c=1 a=2 Text1 = “c=1 a=2” c=1 a=3 Text2 = “c=1 a=3” c=1 a=3 Text2 = “c=1 a=3” c=1 a=1/3 Text3 = “c=1 a=1/3” c=1 a=1/3 Text3 = “c=1 a=1/3” c=1 a=1/2 Text4 = “c=1 a=1/2” c=1 a=1/2 Text4 = “c=1 a=1/2” c=1 a=1 Text5 = “c=1 a=1” c=1 a=1 Text5 = “c=1 a=1” 0 < a < 1 Text6 = “0 < a < 1” a > 1 Text7 = “a > 1” c=1 a=3 Text2_1 = “c=1 a=3” c=1 a=3 Text2_1 = “c=1 a=3” c=1 a=e=2,718..=e-Funktion Text2_2 = “c=1 a=e=2,718..=e-Funktion” c=1 a=e=2,718..=e-Funktion Text2_2 = “c=1 a=e=2,718..=e-Funktion”

Exponentialfunktion - Interaktive Illustration

Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:

Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

  • Regler a: Verändere die Basis
  • Regler c: Verändere den Faktor

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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert

Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)

Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)

Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)

Exponentialfunktionen
Wachstumsfaktor
Abnahmefaktor
Bijektiv
Relative Änderung des Wachstums
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Wachstumsfunktion
Abnahmefunktion

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Natürliche Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)

  • Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
  • Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
    • Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
    • Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
    • \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
    • \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
    • Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
  • Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
  • Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.

Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall

\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)

  • N0 ... Startwert, Startwert
  • \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
  • \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)

Funktion f f(x) = Wenn(x > 0, ℯ^x) Funktion g g(x) = Wenn(x > 0, ℯ^(-x)) f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” f(t)=e^t Text1 = “f(t)=e^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t” g(t)=e^-^t Text2 = “g(t)=e^-^t”

Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration

Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

  • Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
  • Regler N0: Entscheidet über Startwert

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Natürliche Exponentialfunktion
Exponentielles Wachstum
Exponentielle Abnahme
Wachstumsprozess
Zerfallsprozess
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