Potenzieren

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

• Das Potenzieren entspricht einer mehrfachen Multiplikation. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
• Das Ziehen von Wurzeln stellt die Umkehrung vom Potenzieren dar. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
• Das Logarithmieren ist eine weitere Möglichkeit einen Potenzterm nach x aufzulösen. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist.

Potenzieren

Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.

Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)

Bezeichnungen beim Potenzieren

Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.

\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)

• Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x²
  Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)²=4
• Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x³
  Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)³= -8

Potenzen mit negativen Exponenten

Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen mit negativer Basis

Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.

Beispiel:

• negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
• negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)

Beispiel aus der Physik:

Lichtgeschwindigkeit

Rechenregeln für Potenzen

Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

• \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
• \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
• \({0^n} = 0\)
• \({a^0} = 1\)
• \({a^1} = a\)
• \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
• \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
• \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen

Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".

\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen

Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.

\(\eqalign{
& {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr
& {a^r}:{a^s} = \frac{{{a^r}}}{{{a^s}}} = {a^{r - s}} \cr} \)

Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen

Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt

\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)

Potenzen potenzieren bzw. radizieren

Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.

\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)

Potenzen von Binomen

Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.

Binom

Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)

Binomische Formeln

Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.

1. Binomische Formel (Plus-Formel)

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)

2. Binomische Formel (Minus-Formel):

\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)

3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)

\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)

Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel

\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)

\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)

Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.

\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)

\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)

Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.

Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen

Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.

\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)

Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten

Merke:

• Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
• In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
• Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
• Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied

Quadratische Ergänzung

Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.