Wurzelziehen

Radizieren bzw. Wurzelziehen

Radizieren, d.h. das Wurzelziehen, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.

Beispiel:
Berechne x
\(\begin{array}{l} {x^3} = 125\\ x = \sqrt[3]{{125}} = 5 \end{array}\)

Bezeichnungen beim Wurzelziehen / Radizieren

Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Der Wurzelexponent ist jener Wert, mit dem man den Wurzelwert potenzieren muss, um als Resultat den Radikanden der Wurzel zu erhalten. Schreibt man keinen Wurzelwert an, so gilt automatisch n=2

Potenzen mit rationalen Exponenten

Die n-te Wurzel aus der nicht-negativen Zahl a ist jene eindeutige, ebenfalls nicht negative Zahl b, deren n-te Potenz wiederum gleich a ist. Anmerkung: Die n-te Wurzel aus der negativen Zahl a, kann nur im Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden.

\(\eqalign{ & \root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n} \cr & a,b \in {{\Bbb R}^ + };\,\,r,s \in {\Bbb R};\,\,n \in {\Bbb N} \cr}\)

Rechenregeln für's Wurzelziehen

Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

• \(\root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n}\)
• \(\root n \of 0 = 0\)
• \(\root n \of 1 = 1\)
• \(\root 1 \of a = a\)
• \(\root 2 \of a = \sqrt a \)

Wurzel mit negativem Radikand

Wurzeln mit negativem Radikand kann man nur im Bereich der komplexen Zahlen lösen, dazu wird die imaginäre Einheit i definiert.

• \(\sqrt { - 1} = i\)

Addition bzw. Subtraktion bei gleichen Radikanden und gleichem Wurzelexponent

Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und diese Summe (r+s) mit der Wurzel multipliziert.

Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und die Summe (r+s) bzw. Differenz (r-s) bildet und diese mit der n-ten Wurzel aus a multipliziert.

\(r\root n \of a \pm s\root n \of a = \left( {r \pm s} \right) \cdot \root n \of a \)

Multiplikation von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten

Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.

\(\root n \of a \cdot \root n \of b = \root n \of {a \cdot b}\)

mit

Multiplikation von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten

Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:

\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}} \cdot \sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m} \cdot {b^n}}}\)

Division von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten

Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.

\(\dfrac{{\root n \of a }}{{\root n \of b }} = \root n \of {\dfrac{a}{b}} \)

Division von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten

Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Division von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Quotient der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:

\(\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{\dfrac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\)

Potenzieren von Wurzeln

Wurzeln werden potenziert, indem man den Radikanden potenziert und anschließend radiziert. Alternativ kann man aber auch zuerst radizieren und dann potenzieren.

\({\left( {\root n \of a } \right)^m} = \root n \of {{a^m}} \)

Radizieren von Wurzeln

Man radiziert eine Wurzel, d.h. man zieht die Wurzel von einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert

\(\root n \of {\root m \of a } = \root {n.m} \of a \)

Umformen von Wurzeln in Potenzen

Wurzeln lassen sich sehr einfach in Potenzen umwandeln. Aus dem Radikand der Wurzel wird die Basis der Potenz, deren Exponent der Bruch "1 durch Wurzelexponent" ist.

\(\eqalign{ & \root n \of a = {a^{\left( {\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \dfrac{1}{{\root n \of a }} = {a^{\left( { - \,\,\,\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \root n \of {{a^k}} = {a^{\left( {\dfrac{k}{n}} \right)}} \cr & \cr & \root n \of {{a^k}} = \root {n.m} \of {{a^{k.m}}} \cr} \)

Anmerkung: Die Klammern bei den Exponenten werden nur geschrieben um die Lesbarkeit im Webbrowser zu verbessern. Sie sind natürlich nicht falsch, aber unnötig.