Prüfungsteil A - Geometrie

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.

Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.

Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

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Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2) , C(8 | 0 | 2), D(4 | -4 | 0) und S(1|1| -4) . Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.

Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.

Die Kante \(\left[ {AS} \right]\) senkrecht auf der Grundfläche ABCD. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24 \cdot \sqrt 2 \)

Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

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Nachfolgende Abbildung zeigt die Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD. Der Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge 1 besteht.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide ABCDS an.

2. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte B und S verläuft.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.

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Betrachtet wird der abgebildete Würfel ABCDEFGH. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten:

Bild

1. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese.

2. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie die Koordinaten des Punkts A an.

Der Punkt P liegt auf der Kante [FB] des Würfels und hat vom Punkt H den Abstand 3.

3. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts P.

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Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben sind die Punkte \(A\left( { - 2\left| {1\left| 4 \right.} \right.} \right){\text{ und }}B\left( { - 4\left| {0\left| 6 \right.} \right.} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts C so, dass gilt: \(\overrightarrow {CA} = 2 \cdot \overrightarrow {AB} \)

Durch die Punkte A und B verläuft die Gerade g. Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen I und II gelten:

• I Jede dieser Geraden schneidet die Gerade g orthogonal.
• II Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt A beträgt 3.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden.

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Gegeben sind die Ebene \(E:2 \cdot {x_1} + {x_2} + 2 \cdot {x_3} = 6\) sowie die Punkte \(P\left( {1\left| 0 \right.\left| 2 \right.} \right){\text{ und }}Q\left( {5\left| {2\left| 6 \right.} \right.} \right)\)

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte P und Q senkrecht zur Ebene E verläuft.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:20

Die Punkte P und Q liegen symmetrisch zu einer Ebene F. Ermitteln Sie eine Gleichung von F.