Skalarprodukt

Multiplikation von Vektoren

Bei der Multiplikation von Vektoren unterscheidet man zwischen

• Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Das Resultat ist ein in der Länge veränderter Vektor
• Skalarprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Orthogonalitätskriterium und Winkel zwischen 2 Vektoren
• Kreuzprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein dritter Vektor, der auf den beiden Ausgangsvektoren normal steht. Wichtige Anwendung: Parallelitätskriterium und Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
• Spatprodukt als Multiplikation dreier Vektoren. Dabei wird zuerst das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet. Mit dem daraus resultierenden Vektor und dem dritten gegebenen Vektor wird anschließend das Skalarprodukt gebildet. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Volumen eines von 3 Vektoren aufgespannten Körpers

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Unter Skalarmultiplikation versteht man die Multiplikation eines Vektor \(\overrightarrow a \) mit einer reellen Zahl λ (Skalar). Der resultierende Vektor hat die λ-fache Länge des Ausgangsvektors. Für negative λ sind der Ausgangsvektor und der resultierende Vektor entgegengesetzt orientiert.

\(\lambda \cdot \overrightarrow a = \left( \matrix{ \lambda \cdot {a_x} \hfill \cr \lambda \cdot {a_y} \hfill \cr} \right)\,\,\,\,\,{\rm{wobei}}\,\,\,\,\,\lambda \overrightarrow a \left\| {\overrightarrow a } \right.\)

\(c \cdot \overrightarrow v = c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {c \cdot {v_x}}\\ {c \cdot {v_y}}\\ {c \cdot {v_z}} \end{array}} \right)\)

Rechenregeln im Zusammenhang mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

\(\eqalign{ & \lambda \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \lambda \cdot \overrightarrow a + \lambda \cdot \overrightarrow b \cr & \left( {\lambda + \mu } \right) \cdot \overrightarrow a = \lambda \cdot \overrightarrow a + \mu \cdot \overrightarrow a \cr & 0 \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \cr}\)

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt zweier Vektoren ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu und wird gebildet, in dem komponentenweise multipliziert wird, und anschließend die Summe der Produkte gebildet wird. Es findet Anwendung bei der Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren und beim Orthogonalitätskriterium welches besagt, dass wenn zwei Vektoren senkrecht auf einander stehen, ihr Skalarprodukt gleich Null ist

\( \eqalign{ & \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right) \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \cr & \cos \varphi = {{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = {{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}} \over {\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }} \cr}\)

Orthogonalitätskriterium

2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist

\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0 \cr}\)

Achtung in \({{\Bbb R}^3}\):

• Das Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum macht eine Aussage darüber, ob die beiden Geraden im rechten Winkel auf einander stehen.
• Es macht aber keine Aussage darüber, ob die beiden Geraden in einer Ebene liegen und einander daher schneiden, oder ob sie in 2 parallelen Ebenen liegen und daher windschief zu einander sind.

Winkel zwischen 2 Vektoren

Zwischen zwei Vektoren kann man zwei Winkel einzeichnen, einen innen- und einen außenliegenden Winkel. Wenn nichts Gegenteiliges gesagt wird, ist immer der Innenwinkel gemeint. Zur Berechnung des Winkels bestimmt man zunächst

• das Skalarprodukt \(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}\) der beiden Vektoren,
• danach jeweils den Betrag \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} \) bzw. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} \) der beiden Vektoren
• und setzt dann in die Formel ein.
• Indem wir den ArkusKosinus nehmen, erhalten wir als Resultat den Winkel in Grad.

Den Kosinus vom Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man, indem man das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren dividiert. 

\(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\) mit \(\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0;\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| \ne 0\)

Rechenregeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Kommutativgesetz
\(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \overrightarrow b \circ \overrightarrow a \)

Distributivgesetz
\(\overrightarrow a \circ \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \circ \overrightarrow b + \overrightarrow a \circ \overrightarrow c \)

gemischtes Assoziativgesetz, wobei k ein Skalar ist
\(k \cdot \left( {\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \right) = \left( {k \cdot \overrightarrow a } \right) \circ \overrightarrow b = \overrightarrow a \circ \left( {k \cdot \overrightarrow b } \right)\)

Quadrat eines Vektors bzw. Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst

Betrachten wir den Spezialfall dass \(\overrightarrow b = \overrightarrow a \) , dann gilt:

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bzw. das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Betrags vom Vektor. Wir können das wie folgt zeigen:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \\ \overrightarrow b = \overrightarrow a \to \cos \left( 0 \right) = 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \end{array}\)

Kreuzprodukt

Für das Kreuzprodukt sind auch die Bezeichnungen vektorielles Produkt bzw. äußeres Produkt üblich Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein (dritter) Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. (Rechtssystem).

\(\eqalign{ & \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right)\times\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{a_y} \cdot {b_z} - {a_z} \cdot {b_y}} \cr {{a_z} \cdot {b_x} - {a_x} \cdot {b_z}} \cr {{a_x} \cdot {b_y} - {a_y} \cdot {b_x}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{c_x}} \cr {{c_y}} \cr {{c_z}} \cr } } \right) \cr & \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \varphi ; \cr}\)

\(\eqalign{ & {\text{mit }}\varphi = \sphericalangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) & }\)

\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow a \cr & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow b \cr} \)

Die Bildungsvorschrift für den doch etwas komplizierten Klammerausdruck lautet wie folgt:

Schreibe die Komponenten der beiden Vektoren an und füge die beiden oberen Zeilen unten noch einmal an
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}&{}&{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
 

Fange in der 1. Spalte in der 2. Zeile an und rechne: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
 

Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 3. Zeile
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
 

Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 4. Zeile

​\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{{a_x} \cdot {b_y}}&{ - {a_y} \cdot {b_x}}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)

Betrag vom Kreuzprodukt entspricht der Fläche vom Parallelogramm

Der Betrag des Vektors entspricht der Maßzahl der Fläche, des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

\({\rm{A = l}} \cdot {\rm{b = }}\left| {\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right| = {\rm{Skalar}}\)

Illustration vom Kreuzprodukt

Parallelitätskriterium

Zwei Vektoren sind dann zueinander parallel, wenn der Betrag von dem Vektor, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, Null ist
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \end{array}\)

Zwei Vektoren sind dann zu einander parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches vom anderen Vektor ist.

\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right)\)

Rechenregeln im Zusammenhang mit dem​ Kreuzprodukt

Das Kommutativgesetz gilt nicht für das Kreuzprodukt, sondern es besteht folgender Zusammenhang

\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right)\)

Das Distributivgesetz gilt für das Kreuzprodukt

\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c \cr & \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \cr} \)

Darüber hinaus gelten folgende Zusammenhänge

\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow a = 0 \cr & \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b = \lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cr} \)

Das Spatprodukt

Beim Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, wird zuerst von zwei Vektoren das Kreuzprodukt und vom so resultierenden Vektor zusammen mit einem dritten Vektor das Skalarprodukt berechnet. Es dient dazu das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Körpers zu berechnen. Solch einen Körper nennt man Parallelepiped oder Spat. Die Bezeichnung Spat ist uns aus der Mineralogie (Feldspat) vertraut. Das Spatprodukt dreier Vektoren liefert als Resultat ein Skalar.

\(V = l \cdot b \cdot h = A \cdot h = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \circ \overrightarrow c = \overrightarrow d \circ \overrightarrow c = {\rm{Skalar}}\)