Teiler bzw Vielfache
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Formeln
Teiler
Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann.
\(a\left| b \right.\) ... sprich "a teilt b"
a ist Teiler von b, wenn es ein \(n \in {\Bbb N}\) gibt, sodass \(n \cdot a = b\). Bei der Division von b durch a darf kein Rest bleiben, andernfalls ist a kein Teiler von b.
Teiler schreibt man in der Praxis vorzugsweise als Brüche \(\dfrac{b}{a} = n\) an, wobei der Nenner den Teiler (vom Ganzen) angibt und der Zähler wieviele Teilstücke gemeint sind.
Beispiel:
\(\dfrac{{12}}{3} = 4 \to 3\left| {12} \right.\)
2, 3, 4, 6 und 12 sind ein Teiler von 12.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln treffen eine Aussage darüber, ob einfache natürliche Zahlen ohne Rest teilbar sind.
Durch 2 teilbar, | wenn die letze Ziffer 0, 2, 4, 6, 8, also eine gerade Zahl ist |
Durch 3 teilbar, | wenn die Ziffernsumme, auch Quersumme genannt, also die Summe ihrer Ziffern, durch 3 teilbar ist. |
Durch 4 teilbar, | wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist, oder „00“ ist. |
Durch 5 teilbar, | wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. |
Durch 6 teilbar, | wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. |
Durch 8 teilbar, | wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist, oder "000" ist. |
Durch 9 teilbar, | wenn ihre Quersumme (=die Summer ihrer Ziffern) durch 9 teilbar ist. |
Durch 10 teilbar, | wenn die letzte Ziffer „0“ ist. |
Durch 12 teilbar, | wenn die Zahl sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist. |
Durch 15 teilbar, | wenn die Zahl sowohl durch 3 als auch durch 5 teilbar ist. |
Durch 25 teilbar, | wenn die letzten zwei Ziffern 00, 25, 50, oder 75 sind. |
Größter gemeinsamer Teiler ggT
Der ggT der beiden Zahlen m und n, ist die größte natürliche Zahl, die sowohl m als auch n teilt.
Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Anschließend bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die in beiden Faktorisierungen enthalten sind.
Beispiel:
Gesucht ist der ggT von 18 und 24
Man bedient sich der Methode der Primfaktorenzerlegung (siehe weiter unten)
\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 3 \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ggT}}\left( {18,24} \right) = 2 \cdot 3 = 6\)
Der ggT von 18 und 24 ist 6
Primfaktorenzerlegung
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass man jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist als Produkt von Primzahlen anschreiben kann.
- 1. Schritt: Man prüft von der kleinsten Primzahl 2 ausgehend aufsteigend alle Primzahlen durch, ob sie die zu faktorisierende Zahl ganzzahlig (also ohne Rest) teilen
- 2. Schritt: Hat man so einen Teiler gefunden, so notiert man diese Primzahl.
- 3. Schritt: Man teilt die zu faktorisierende Zahl durch die Primzahl und fängt wieder beim 1. Schritt neu an
- 4. Schritt: Bleibt am Schluss nur mehr eine Primzahl über, kann man die ursprünglich zu faktorisierende Zahl als das Produkt aller notierten Primzahlen und der übrig gebliebenen Primzahl anschreiben
Beispiel:
Gesucht ist die Primfaktorenzerlegung von 18
- 1. Schritt: 2 teilt 18 ohne Rest
- 2. Schritt: Wir notieren 2
- 3. Schritt: Wir teilen 18 durch 2 und erhalten 9
- 1. Schritt: 3 teilt 9
- 2. Schritt: Wir notieren 3
- 3. Schritt: Wir teilen 9 durch 3 und erhalten die Primzahl 3
- 4. Schritt: Die Primfaktoren sind 2, 3 und 3 somit lautet die Primfaktorenzerlegung von \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
Teilerfremde Zahlen
Weist die Primfaktorenzerlegung zweier oder mehrere Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aus, so spricht man von teilerfremden Zahlen. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen die Zahl 1, die bekanntlich keine Primzahl ist. Zwei unterschiedliche Primzahlen sind grundsätzlich teilerfremd.
Zusammenhang zwischen ggT und kgV:
Das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen selber.
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Vielfache
Eine Zahl b ist ein Vielfaches (das n-fache) von einer Zahl a, wenn a ein Teiler von b ist.
\(b = n \cdot a\)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV zweier Zahlen m und n ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von m als auch von n ist.
- Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren.
- In beiden Zerlegungen vorkommende gleiche Faktoren streicht man einmal weg.
- Anschließen bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die nach der Streichung noch in den beiden Faktorisierungen enthalten sind.
Beispiel:
Gesucht ist das kkV von 18 und 24
\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ \not{2} \cr \not{3} \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{kgV}}\left( {18,24} \right) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 72\)
Das kkV von 18 und 24 ist 72.
Aufgaben
Aufgabe 250
Vielfache
Ergänze die Tabelle um die jeweils ersten zehn Vielfachen der gegebenen Zahl
3 | ||||||||||
7 | ||||||||||
20 | ||||||||||
25 | ||||||||||
99 |
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Aufgabe 251
Teiler bzw. Primzahl
Ergänze die Tabelle um jene Zahlen, die Teiler der gegebenen Zahl sind. Markiere, ob die Zahl eine Primzahl ist oder ob nicht.
Zahl | 1. Teiler | 2. Teiler | 3. Teiler | 4. Teiler | 5. Teiler | 6. Teiler | Primzahl ? |
1 | nein | ||||||
2 | ja | ||||||
3 | ja | ||||||
4 | nein | ||||||
5 | ja | ||||||
6 | nein | ||||||
7 | ja | ||||||
8 | nein | ||||||
9 | nein | ||||||
10 | nen | ||||||
11 | ja | ||||||
12 | nein | ||||||
13 | ja | ||||||
14 | nein | ||||||
15 | nein |