Teiler bzw Vielfache

Teiler

Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann.

\(a\left| b \right.\) ... sprich "a teilt b"

a ist Teiler von b, wenn es ein \(n \in {\Bbb N}\) gibt, sodass \(n \cdot a = b\). Bei der Division von b durch a darf kein Rest bleiben, andernfalls ist a kein Teiler von b.

Teiler schreibt man in der Praxis vorzugsweise als Brüche \(\dfrac{b}{a} = n\) an, wobei der Nenner den Teiler (vom Ganzen) angibt und der Zähler wieviele Teilstücke gemeint sind.
Beispiel:
\(\dfrac{{12}}{3} = 4 \to 3\left| {12} \right.\)

2, 3, 4, 6 und 12 sind ein Teiler von 12.

Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln treffen eine Aussage darüber, ob einfache natürliche Zahlen ohne Rest teilbar sind.

Größter gemeinsamer Teiler ggT

Der ggT der beiden Zahlen m und n, ist die größte natürliche Zahl, die sowohl m als auch n teilt.

Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Anschließend bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die in beiden Faktorisierungen enthalten sind.

Beispiel:
Gesucht ist der ggT von 18 und 24
Man bedient sich der Methode der Primfaktorenzerlegung (siehe weiter unten)

\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 3 \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ggT}}\left( {18,24} \right) = 2 \cdot 3 = 6\)

Der ggT von 18 und 24 ist 6

Primfaktorenzerlegung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass man jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist als Produkt von Primzahlen anschreiben kann.

• 1. Schritt: Man prüft von der kleinsten Primzahl 2 ausgehend aufsteigend alle Primzahlen durch, ob sie die zu faktorisierende Zahl ganzzahlig (also ohne Rest) teilen
• 2. Schritt: Hat man so einen Teiler gefunden, so notiert man diese Primzahl.
• 3. Schritt: Man teilt die zu faktorisierende Zahl durch die Primzahl und fängt wieder beim 1. Schritt neu an
• 4. Schritt: Bleibt am Schluss nur mehr eine Primzahl über, kann man die ursprünglich zu faktorisierende Zahl als das Produkt aller notierten Primzahlen und der übrig gebliebenen Primzahl anschreiben

Beispiel:
Gesucht ist die Primfaktorenzerlegung von 18

• 1. Schritt: 2 teilt 18 ohne Rest
• 2. Schritt: Wir notieren 2
• 3. Schritt: Wir teilen 18 durch 2 und erhalten 9
• 1. Schritt: 3 teilt 9
• 2. Schritt: Wir notieren 3
• 3. Schritt: Wir teilen 9 durch 3 und erhalten die Primzahl 3
• 4. Schritt: Die Primfaktoren sind 2, 3 und 3 somit lautet die Primfaktorenzerlegung von \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)

Teilerfremde Zahlen

Weist die Primfaktorenzerlegung zweier oder mehrere Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aus, so spricht man von teilerfremden Zahlen. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen die Zahl 1, die bekanntlich keine Primzahl ist. Zwei unterschiedliche Primzahlen sind grundsätzlich teilerfremd.

Zusammenhang zwischen ggT und kgV:

Das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen selber.

Vielfache

Eine Zahl b ist ein Vielfaches (das n-fache) von einer Zahl a, wenn a ein Teiler von b ist.

\(b = n \cdot a\)

Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV

Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV zweier Zahlen m und n ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von m als auch von n ist.

1. Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren.
2. In beiden Zerlegungen vorkommende gleiche Faktoren streicht man einmal weg.
3. Anschließen bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die nach der Streichung noch in den beiden Faktorisierungen enthalten sind.

Beispiel:
Gesucht ist das kkV von 18 und 24

\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ \not{2} \cr \not{3} \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{kgV}}\left( {18,24} \right) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 72\)

Das kkV von 18 und 24 ist 72.