Kreis, Kreissektor und Kreisbogen

Kreis

Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.

\(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)

• Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
• Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
• Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)

Kreismittelpunkt

Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.

Kreisradius

Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.

\(r = \overline {MP} \)

Kreisdurchmesser

Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.

\(d = 2r\)

Kreisumfang

Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.

\(U = 2r\pi = d\pi \)

Kreiszahl π

Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.

\(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)

Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)

Kreisfläche

Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.

\(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)

Illustration vom Kreis

Kreissektor

Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
\(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)

Beispiel:
Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)

Länge vom Kreisbogen

Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)

Beispiel:
Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5{\text{ cm}} \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)

Illustration von Kreissektor und Kreisbogen

Kreisring

Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.

\(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)

Illustration vom Kreisring

Kreissegment

Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\)  ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.

\(\eqalign{
& s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
& U = b + s \cr
& A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)

Illustration vom Kreissegment

Satz von Thales

Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.
Peripheriewinkel bzw. Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser betragen immer 90°.

Satz von Thales - Interaktive Illustration auf der Website von Geogebra.org

Illustration auf GeoGebra.org anzeigen

Bewege den Punkt P entlang vom Halbkreis und beobachte wie sich die beiden Winkel immer zu 90° aufsummieren.

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Kreis und Gerade

Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.

Kreissehne

Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.

\(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)

Sekante

Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.

\(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)

Tangente

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.

\(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)

Passante

Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.

\(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)