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  4. Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Zahlenfolgen und Zahlenreihen

Hier findest du folgende Inhalte

3
Formeln
    Formeln
    Wissenspfad
    Aufgaben

    Zahlenfolgen

    Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
    \(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)

    Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
    \({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)

    Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.

    i Index der Glieder der Folge
    an n-tes Glied der Folge (i=n)

    Beispiel:
    Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:

    \(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)


    Arithmetische Zahlenfolge

    Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

    Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
    \({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)

    \(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)

    a1 Startwert
    d konstante Differenz
    • d < 0: fallende Folge
    • d = 0: konstante Folge
    • d > 0: steigende Folge

    Rekursive Formel

    Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss. 
    \({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)

    Explizite Formel

    Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
    \({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)


    Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder

    \({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)


    Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:

    Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet: 

    \(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)


    Geometrische Zahlenfolge

    Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
    \(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

    Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
    \({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)

    \(​q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)

    a1 Startwert
    d konstanter Quotient
    • q<0 : alternierende Folge
    • 0<q<1 : fallende Folge
    • q=1 : konstante Folge
    • q>1 : steigende Folge

    Rekursive Formel

    Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
    \({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)

    Explizite Formel

    Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.

    \({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)


    Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
    \({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
    \({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)


    Beispiel:

    Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge

    Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden

    \(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)

    Zahlenfolge
    Bildungsvorschrift einer Zahlenfolge
    Arithmetische Folge
    Geometrische Folge
    Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge
    rekursives Bildungsgesetz
    explizites Bildungsgesetz
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    Zahlenreihen

    Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge ⟨ai⟩

    \(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + ...{a_n} + {a_{n + 1}} + ...\)


    Beispiel:
    Bildungsvorschrift:
    \(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Reihe: }}s = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2 \cr}\)


    Partialsumme

    Während bei einer Reihe unendlich viele Glieder aufsummiert werden, summiert man bei einer Partialsumme nur endlich viele Gieder (nämlich vom ersten bis zum n-ten Glied) auf.

    \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...{a_n}\)


    Arithmetische Zahlenreihe

    Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
    \(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)

    Die zugehörige arithmetische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenreihe ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.

    \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} = n \cdot {a_1} + \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}}{2}d = n\dfrac{{\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

    a1 Startwert
    d konstante Differenz
    sn Anzahl * Durchschnittswert

    Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n. Wobei:
    \({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n-1)d\)


    Geometrische Zahlenreihe

    Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.

    \(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)

    Die zugehörige geometrische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der geometrischen Zahlenreihe ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Abhängig von der Größe von q bevorzugt man einer der zwei folgenden gleichwertigen Fomeln:

    Für \(q < 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \)

    Für \(q > 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}} \)

    Für \(\left| q \right| > 1\) konvergiert die geometrische Reihe. Ihr Grenzwert für \(n \to \infty \) ergibt sich zu:

    \({s_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\)

    Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei

    \({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)


    Beispiel:

    Eulersche Zahl als Reihe

    Die Euler'sche Zahl kann wie folgt als Summe aller Glieder einer geometrischen Reihe dargestellt werden

    \(e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} = \dfrac{1}{{0!}} + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + ... = 2,71828...\)

    Zahlenreihe
    n-te Partialsumme
    Arithmetische Zahlenreihe
    Geometrische Zahlenreihe
    Eulersche Zahl als Reihe
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    Eigenschaften von Zahlenfolgen

    Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:


    Umgebung bzw. Epsilontik

    Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.

    \(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)


    Häufungswert von Folgen

    Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨an⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.

    \(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)


    Satz von Bolzano und Weierstraß

    Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨an⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.


    Grenzwert bzw. Limes

    Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨an⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)

    Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.

    \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)


    Nullfolge

    Eine Folge ⟨an⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)

    Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge


    Konvergenz, Divergenz

    Eine Folge ⟨an⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.

    \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)


    Supremum und Infimum

    • Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum.
    • Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum.
    • Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören;

    Maximum und Minimum

    • Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum.
    • Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum.
    • Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören. Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum.

    Beispiel:

    \(\left[ {0,1} \right]\) Infimum=0 Minimum=0 Maximum=1 Supremum=1
    \(\left] {0,1} \right[\) Infimum=0 kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0,1} \right[\) kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0,1} \right[\) Supremum=1


    Beschränkte und unbeschränkte Folgen

    Beschränkte Folge

    Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.

    • obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist. 
    • untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist. 
    \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) nach oben beschränkte Folge
    \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) nach unten beschränkte Folge
    \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) beschränkte Folge

    Unbeschränkte Folge

    Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.

    • \({\text{Supremum}} = \infty \) : Wenn das Supremum „unendlich“ ist, dann ist die Folge nach oben unbeschränkt
    • \({\text{Infimum}} = - \infty \)  Wenn das Supremum „minus unendlich“ ist, dann ist die Folge nach unten unbeschränkt

    Monotonie einer Folge

    Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).

    Der nachfolgende Wert ist ...
    \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) monoton wachsend größer gleich dem vorhergehenden Wert
    \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) streng monoton wachsend größer dem vorhergehenden Wert
    \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) monoton fallend kleiner gleich dem vorhergehenden Wert
    \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) streng monoton fallend kleiner dem vorhergehenden Wert

    Beispiel:
    Alternierende Folge:
    \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)

    Epsilonumgebung
    Epsilontik
    Häufungswert von Folgen
    Satz von Bolzano Weierstraß
    Grenzwert von Folgen
    Limes von Folgen
    Nullfolge
    Konvergenz von Folgen
    Divergenz von Folgen
    Beschränkte Folge
    Schranke einer Folge
    Zahlenfolge
    Supremum einer Folge
    Infimum einer Folge
    Maximum einer Folge
    Minimum einer Folge
    Unbeschränkte Folge
    Monotonie einer Folge
    Monoton wachsende Folge
    Monoton fallende Folge
    Streng monoton wachsende Folge
    Streng monoton fallende Folge
    Eigenschaften von Zahlenfolgen
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    • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
    • Umfassende Unterstützung: Maths2mind begleitet Schüler bis zum erfolgreichen Lehrabschluss mit Matura, dem Berufseinstieg nach Matura/Abitur und auch beim Studieneinstieg.
    • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
    • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

    Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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