Eine Zahlenfolge ist eine (endliche oder unendliche) Aufzählung von (durch Beistrich getrennten) Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle ;\)
Für je zwei aufeinander folgende Zahlenwerte existiert eine Bildungsvorschrift.
\({a_n} = f(n),\,\,n \in {\Bbb N}\)
Wenn nicht explizit beschränkt, sind Folgen unendlich.
| i | Index der Glieder der Folge |
| an | n-tes Glied der Folge (i=n) |
Beispiel:
Gegen sei eine allgemeine Bildungsvorschrift wie folgt:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Folge:}}\,\,\,\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3},{a_4},...,{a_{n - 1}},{a_n},{a_{n + 1}},...} \right\rangle = 1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},...,\dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}},... \cr}\)
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten, die zugehörige Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenfolge ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
\(d = {a_{n + 1}} - {a_n}\)
| a1 | Startwert |
| d | konstante Differenz |
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} + d\)
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\)
Jedes Glied ist daher das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_n} = \dfrac{{{a_{n - 1}} + {a_{n + 1}}}}{2};\,\,\,n \geqslant 2\)
Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge:
Das Bildungsgesetz für die ungeraden Zahlen lautet:
\(\eqalign{ & {a_n} = 1 + 2 \cdot \left( {n - 1} \right) \cr & \cr & {a_1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1 \cr & {a_2} = 1 + 2 \cdot 1 = 3 \cr & {a_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5 \cr & \cr & \left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {1,3,,5,7,...} \right\rangle \cr} \)
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten. Bei der geometrischen Zahlenfolge ist der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\(q = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}\)
| a1 | Startwert |
| d | konstanter Quotient |
Ein Bildungsgesetz nennt man „rekursiv“ weil man zur Berechnung des (n+1) Folgeglieds an+1 das n-te Vorgängerglied an kennen muss.
\({a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q\)
Ein Bildungsgesetz nennt man explizit, wenn man das jeweilige Glied der Folge berechnen kann, ohne andere Glieder der Folge zu kennen.
\({a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}}\)
Der Betrag jedes Glieds ist daher das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
\({a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} \cdot {a_{n + 1}}} ;\,\,\,n \ge 2;\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Grenzwert einer geometrischen Folge
Die eulersche Zahl kann wie folgt als Grenzwert einer geometrischen Folge dargestellt werden
\(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = 2,71828...\)
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Eine Reihe kann man sich als Summe mit unendlich vielen Summanden vorstellen. Diese Summanden ai sind dabei die Glieder einer zugehörigen Folge ⟨ai⟩
\(\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = {a_1} + {a_2} + ...{a_n} + {a_{n + 1}} + ...\)
Beispiel:
Bildungsvorschrift:
\(\eqalign{ & {a_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cr & {\text{Reihe: }}s = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + ... + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_i}} = \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 2 \cr}\)
Während bei einer Reihe unendlich viele Glieder aufsummiert werden, summiert man bei einer Partialsumme nur endlich viele Gieder (nämlich vom ersten bis zum n-ten Glied) auf.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_n}} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ...{a_n}\)
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},\,\,{a_1} + d,\,\,{a_1} + 2d,\,\,{a_1} + 3d,\,\,\,\,\,...,\,\,\,\,\,\,{a_1} + (n - 1) \cdot d} \right\rangle \)
Die zugehörige arithmetische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der arithmetischen Zahlenreihe ist die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant.
\({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} = n \cdot {a_1} + \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}}{2}d = n\dfrac{{\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)
| a1 | Startwert |
| d | konstante Differenz |
| sn | Anzahl * Durchschnittswert |
Das Bildungsgesetz ist ein linearer Term in n. Wobei:
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} + 1d;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} + 2d;\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n-1)d\)
Eine Zahlenfolge ai ist eine (durch Beistriche getrennte) Aufzählung von Zahlenwerten.
\(\left\langle {{a_i}} \right\rangle = \left\langle {{a_1},{a_1} \cdot q,{a_1} \cdot {q^2},{a_1} \cdot {q^3},...,{a_1} \cdot {q^{n - 1}},...} \right\rangle\)
Die zugehörige geometrische Zahlenreihe sn entsteht durch Summation der Zahlenwerte. Bei der geometrischen Zahlenreihe ist der Quotient q zweier aufeinander folgender Glieder konstant. Abhängig von der Größe von q bevorzugt man einer der zwei folgenden gleichwertigen Fomeln:
Für \(q < 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \)
Für \(q > 1\): \({s_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = {a_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}} \)
Für \(\left| q \right| > 1\) konvergiert die geometrische Reihe. Ihr Grenzwert für \(n \to \infty \) ergibt sich zu:
\({s_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n} = \frac{{{a_1}}}{{1 - q}}\)
Das Bildungsgesetz ist ein exponentieller Term in n, wobei
\({a_1} = {a_1};\,\,\,\,\,{a_2} = {a_1} \cdot q;\,\,\,\,\,{a_3} = {a_1} \cdot {q^2};\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} \cdot {q^{n - 1}};\)
Beispiel:
Eulersche Zahl als Reihe
Die Euler'sche Zahl kann wie folgt als Summe aller Glieder einer geometrischen Reihe dargestellt werden
\(e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\dfrac{1}{{n!}}} = \dfrac{1}{{0!}} + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + ... + ... = 2,71828...\)
Wir haben bereits beschrieben, dass Zahlenfolgen an Hand ihrer Bildungsvorschrift unterschieden werden können. Wir erinnern uns etwa an die arithmetische Folge, bei der die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist, oder an die geometrische Folge, bei der der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Nachfolgend lernen wir weitere Eigenschaften von Zahlenfolgen kennen:
Die Ɛ-Umgebung U(a;Ɛ) einer reellen Zahl a, ist die Menge aller Zahlen x aus \({\Bbb R}\), für die der Betrag der Differenz (a-x) kleiner als Ɛ ist.
\(\eqalign{ & U\left( {a;\varepsilon } \right) = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {a - \varepsilon } \right. < x < a + \varepsilon } \right\} \cr & \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {\left| {a - x} \right|} \right. < \varepsilon } \right\} \cr}\)
Die Zahl h heißt Häufungswert einer Folge ⟨an⟩, wenn in jeder ɛ-Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge liegen. Eine Folge kann auch mehrere Häufungswerte haben.
\(\left| {{a_n} - \eta } \right| < \varepsilon\)
Der Satz von Bolzano und Weierstraß besagt, dass jede beschränkte unendliche Zahlenfolge ⟨an⟩ zumindest einen Häufungswert h besitzt. Eine Folge ist dann beschränkt, wenn es ein endliches Intervall gibt, in dem alle der unendlich vielen Folgenglieder liegen.
Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨an⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)
Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert. Die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häufungswerte aber keinen Grenzwert besitzen.
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)
Eine Folge ⟨an⟩ ist eine Nullfolge, wenn sie gegen den Grenzwert Null konvergiert. Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = 0\)
Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge
Eine Folge ⟨an⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e-Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent.
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\,{a_n} = g\)
Beispiel:
| \(\left[ {0,1} \right]\) | Infimum=0 | Minimum=0 | Maximum=1 | Supremum=1 |
| \(\left] {0,1} \right[\) | Infimum=0 | kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0,1} \right[\) | kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0,1} \right[\) | Supremum=1 |
Beschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt.
| \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) | nach oben beschränkte Folge |
| \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) | nach unten beschränkte Folge |
| \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) | beschränkte Folge |
Unbeschränkte Folge
Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat. Jede unbeschränkte Folge divergiert. Eine divergierende Folge ist unbeschränkt.
Die Monotonie einer Folge gibt an ob und wie die Werte der Folge steigen, fallen, konstant bleiben oder alternieren (d.h. das Vorzeichen wechseln).
| Der nachfolgende Wert ist ... | ||
| \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \geqslant {a_n};}\) | monoton wachsend | größer gleich dem vorhergehenden Wert |
| \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} > {a_n};}\) | streng monoton wachsend | größer dem vorhergehenden Wert |
| \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} \leqslant {a_n};}\) | monoton fallend | kleiner gleich dem vorhergehenden Wert |
| \({\forall n \in {\Bbb N}:{a_{n + 1}} < {a_n};}\) | streng monoton fallend | kleiner dem vorhergehenden Wert |
Beispiel:
Alternierende Folge:
\({a_n} = {\left( { - 1} \right)^n} = 1,\,\, - 1,\,\,1,\,\, - 1,..\)